Question

【題目】小明與同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)動(dòng)手實(shí)踐操作活動(dòng)中，將銳角為的直角三角板MPN的一個(gè)銳角頂點(diǎn)P與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，正方形ABCD固定不動(dòng)，然后將三角板繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，連結(jié)EF．

（探究發(fā)現(xiàn)）

在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)的兩邊分別與正方形的邊CB、DC相交時(shí)，如圖所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系：______．

（拓展思考）

在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)的兩邊分別與正方形的邊CB、DC的延長(zhǎng)線相交時(shí)，如圖所示，則線段BE、DF、EF又將滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系：______，并證明你的結(jié)論；

（創(chuàng)新應(yīng)用）

若正方形的邊長(zhǎng)為4，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)的一邊恰好經(jīng)過(guò)BC邊的中點(diǎn)時(shí)，試求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）或.

【解析】

延長(zhǎng)FD至G，使，連接AG，先證≌，再證≌即可；

在DC上截取，連接AH，先證≌，再證≌△EAF即可；

分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題．

解：結(jié)論：．

理由：延長(zhǎng)FD至G，使，連接AG，如圖，

是正方形，

，，

≌，

，，

，

，

，

，

，

≌，

，

，

即：．

故答案為：．

結(jié)論：．

理由：在DC上截取，連接AH，如圖，

，，

≌，

，，

，

，

，

，

≌，

，

，

．

故答案為：．

當(dāng)MA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)E時(shí)，由（1）（2）可知：設(shè)，則，．

在中，，

，

．

當(dāng)NA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)G時(shí)，由（1）（2）可知：設(shè)，則，，

，，

由勾股定理得到：，

，

．