【題目】如圖,在△ABC中.AB=AC.∠BAC=36°.BD是∠ABC的平分線,交AC于點D,E是AB的中點,連接ED并延長,交BC的延長線于點F,連接AF.求證:(1)EF⊥AB; (2)△ACF為等腰三角形.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】
(1)依據(jù)AB=AC,∠BAC=36°,可得∠ABC=72°,再根據(jù)BD是∠ABC的平分線,即可得到∠ABD=36°,由∠BAD=∠ABD,可得AD=BD,依據(jù)E是AB的中點,即可得到FE⊥AB;
(2)依據(jù)FE⊥AB,AE=BE,可得FE垂直平分AB,進而得出∠BAF=∠ABF,依據(jù)∠ABD=∠BAD,即可得到∠FAD=∠FBD=36°,再根據(jù)∠AFC=∠ACB﹣∠CAF=36°,可得∠CAF=∠AFC=36°,進而得到AC=CF.
(1)∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB =72°.
又∵BD是∠ABC的平分線,∴∠ABD=∠FBD= 36°,∴∠BAD=∠ABD,∴AD=BD.
又∵E是AB的中點,∴DE⊥AB,即FE⊥AB;
(2)∵FE⊥AB,AE=BE,∴FE垂直平分AB,∴AF=BF,∴∠BAF=∠ABF.
又∵∠ABD=∠BAD,∴∠FAD=∠FBD=36°.
又∵∠ACB=72°,∴∠AFC=∠ACB﹣∠CAF=36°,∴∠CAF=∠AFC=36°,∴AC=CF,即△ACF為等腰三角形.
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點D在BC延長線上,連接AD,過B作BE⊥AD,垂足為E,交AC于點F,連接CE.
(1)求證:CF=CD;
(2)求證:DADE=DBDC;
(3)探究線段AE,BE,CE之間滿足的等量關(guān)系,并說明理由.
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【題目】甲、乙兩種型號的風扇成本分別為120元臺、170元臺,銷售情況如下表所示(成本、售價均保持不變,利潤=收入-成本):
(1)求這兩種型號風扇的售價;
(2)該商場打算再采購這兩種型號的風扇共130臺,銷售完后總利潤能不能恰好為8010元?若能,給出相應(yīng)的采購方案;若不能,說明理由。
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點其中滿足:.
(1)
(2)在坐標平面內(nèi),將△ABC平移,點A的對應(yīng)點為點D,點B的對應(yīng)點為點E,點C的對應(yīng)點為點F,若平移后E、F兩點都在坐標軸上,請直接寫出點E的坐標;
(3)若在△ABC內(nèi)部的軸上存在一點P,在(2)的平移下,點P的對應(yīng)點為點Q,使得△APQ的面積為10,則點P的坐標為_________.
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【題目】如圖,點P是射線BM上的一個動點(點P不與點B重合),∠AOB= 30°,∠ABM=60°.當∠OAP=______時,以點A、O、B中的任意兩點和點P為頂點的三角形是等腰三角形.
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【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=60°,E是AD的中點,點P是對角線BD上的動點,當AP+PE的值最小時,PC的長是( )
A.
B.2
C.
D.
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【題目】在△ABC中,DE垂直平分AB ,分別交AB、BC于點D 、E,MN垂直平分AC,分別交AC、BC于點M、N,連接AE,AN.
(1)如圖1,若∠BAC= 100°,求∠EAN的度數(shù);
(2)如圖2,若∠BAC=70°,求∠EAN的度數(shù);
(3)若∠BAC=a(a≠90°),請直接寫出∠EAN的度數(shù). (用含a的代數(shù)式表示)
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【題目】聯(lián)想三角形外心的概念,我們可引入如下概念. 定義:到三角形的兩個頂點距離相等的點,叫做此三角形的準外心.
舉例:如圖1,若PA=PB,則點P為△ABC的準外心.
應(yīng)用:如圖2,CD為等邊三角形ABC的高,準外心P在高CD上,且PD= AB,求∠APB的度數(shù).
探究:已知△ABC為直角三角形,斜邊BC=5,AB=3,準外心P在AC邊上,試探究PA的長.
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【題目】以點A為頂點作等腰Rt△ABC,等腰Rt△ADE,其中∠BAC=∠DAE=90°,如圖1所示放置,使得一直角邊重合,連接BD、CE.
(1)試判斷BD、CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)延長BD交CE于點F試求∠BFC的度數(shù);
(3)把兩個等腰直角三角形按如圖2放置,(1)、(2)中的結(jié)論是否仍成立?請說明理由.
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