Question

【題目】對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，如果m=k（k+1），其中k是正整數(shù)，則稱m為“矩?cái)?shù)”，k 為m的最佳拆分點(diǎn)．例如，56=7×（7+1），則56是一個(gè)“矩?cái)?shù)”，7為56的最佳拆分點(diǎn)．

（1）求證：若“矩?cái)?shù)”m是3的倍數(shù)，則m一定是6的倍數(shù)；

（2）把“矩?cái)?shù)”p與“矩?cái)?shù)”q的差記為 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，則 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩?cái)?shù)”p的最佳拆分點(diǎn)為t，“矩?cái)?shù)”q的最佳拆分點(diǎn)為s，當(dāng) D（p，q）=30時(shí)，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）最大值是.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),k+1是偶數(shù),則k(k+1)是能被3整除的偶數(shù),故k(k+1)是6的倍數(shù)；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),則k(k+1)是能被3整除的偶數(shù),故k(k+1)是6的倍數(shù)，
（2）根據(jù)題意得p=t(t+1),q=s(s+1),D(p,q)=t(t+1)s(s+1)=30，即分解因式得到(ts)(t+s+1)=30，根據(jù)30=1×30=2×15=3×10=5×6，得到方程組求得或或或于是得到結(jié)論．

試題解析：(1)若“矩?cái)?shù)”m=k(k+1)是3的倍數(shù),則k(k+1)是3的倍數(shù)，k是正整數(shù)，

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),k+1是偶數(shù),則k(k+1)是能被3整除的偶數(shù),故k(k+1)是6的倍數(shù)；

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),則k(k+1)是能被3整除的偶數(shù),故k(k+1)是6的倍數(shù)，

綜上所述，若“矩?cái)?shù)”m是3的倍數(shù)，則m一定是6的倍數(shù)；

(2)根據(jù)題意得p=t(t+1),q=s(s+1),D(p,q)=t(t+1)s(s+1)=30，

即

∴(ts)(t+s+1)=30，

∵t，s是正整數(shù)，t>s，

∴ts，t+s+1是正整數(shù)，且t+s+1>ts，

∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，

∴或或或

解得： 或或或

∵t，s是正整數(shù)，

∴符合條件的是： 或或，

∴或或

∵

∴的最大值是.