Question

【題目】在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦， ， ．
（1）在圖1中，P為直徑BA延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，當(dāng)CP與⊙O相切時(shí)，求PO的長(zhǎng)；

（2）如圖2，一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在⊙O上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周，當(dāng) 時(shí)，求半徑OM所掃過(guò)的扇形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CP與⊙O相切，OC是半徑．

∴CP⊥OC，

又∵∠OAC=∠AOC=60°，

∴∠P=90°-∠AOC=30°，

∴在Rt△POC中，CO= PO=4，

則PO=2CO=8

（2）解：如圖，

①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1，連接AM1，OM1．

易得S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M1時(shí)，S△MAO=S△CAO，

此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為 ，

∴半徑OM所掃過(guò)的扇形的面積= ；

②過(guò)點(diǎn)M1作M1M2∥AB交⊙O于點(diǎn)M2，連接AM2，OM2，易得S△M2AO=S△CAO．

∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°

∴ 或 ，

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M2時(shí)，S△MAO=S△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為 ，

∴半徑OM所掃過(guò)的扇形的面積= × ×4= π；

③過(guò)點(diǎn)C作CM3∥AB交⊙O于點(diǎn)M3，連接AM3，OM3，易得S△M3AO=S△CAO

∴∠BOM3=60°，

∴ = ×240或 = ×2=

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M3時(shí)，S△MAO=S△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為 ，

∴半徑OM所掃過(guò)的扇形的面積= × ×4= ；

④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，S△MAO=S△CAO，

此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為 ×300°或 π+ =

∴半徑OM所掃過(guò)的扇形的面積= × ×4=

【解析】（1）根據(jù)CP與⊙O相切，得出CP⊥OC，根據(jù)題意易證△OAC是等邊三角形，可求出∠P=30°，再根據(jù)直角三角形中，30°的直角邊等于斜邊的一半，求出OP的長(zhǎng)。
（2）如圖，當(dāng)S△MAO=S△CAO時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的位置有四種．①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1，連接AM1，OM1，先證S△MAO=S△CAO，再求出點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)，即可求出半徑OM所掃過(guò)的扇形的面積；②過(guò)點(diǎn)M1作M1M2∥AB交 O于點(diǎn)M2，連接AM2，OM2，③過(guò)點(diǎn)C作CM3∥AB交 O于點(diǎn)M3，連接AM3，OM3；④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，求得每種情況的OM轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)，然后求出半徑OM所掃過(guò)的扇形的面積。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解含30度角的直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，以及對(duì)勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．