Question

【題目】定義：若點(diǎn)P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB+∠CPD=180°， 則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)“互補(bǔ)點(diǎn)”．

（1）如圖1，點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)“互補(bǔ)點(diǎn)”，∠APD=63°，求∠BPC的度數(shù)．

（2）如圖2，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線上的任意一點(diǎn)．求證：點(diǎn)P為菱形ABCD的一個(gè)“互補(bǔ)點(diǎn)”．

Answer 1

【答案】（1）117°；（2）證明見解析.

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)“互補(bǔ)點(diǎn)”的定義，可得出∠APD+∠BPC=180°，從而可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可證得AB=BC，∠ABP=∠CBP，再證明△ABP≌△CBP，可證得∠1=∠3，同理得出∠2=∠4，然后證明∠1+∠2=180°，即可求證.

（1）∵點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)“互補(bǔ)點(diǎn)”，∠APD=63°

∴∠APD+∠BPC=180°

∴∠BPC=180°-63°=117°

（2）證明：如圖，連接AP、PC

∵菱形ABCD

∴AB=BC，∠ABP=∠CBP

∵BP=BP

∴△ABP≌△CBP（SAS）

∴∠1=∠3

同理∠2=∠4

∵∠1+∠3+∠2+∠4=360°

∴2∠1+2∠2=360°

∴∠1+∠2=180°

∴點(diǎn)P為菱形ABCD的一個(gè)“互補(bǔ)點(diǎn)” .