Question

我們知道，假分數(shù)可以化為帶分數(shù)．例如：

8

3

=2+

2

3

=2

2

3

．在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：

x-1

x+1

，

x2

x-1

這樣的分式就是假分式；

3

x+1

，

2x

x2+1

這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式和的形式）．
例如：

x-1

x+1

=

(x+1)-2

x+1

=1-

2

x+1

； 

x2

x-1

=

x2-1+1

x-1

=

(x+1)(x-1)+1

x-1

=x+1+

1

x-1

．
（1）將分式

x-1

x+2

化為帶分式；
（2）若分式

2x-1

x+1

的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值；
（3）求函數(shù)y=

2x2-1

x+1

圖象上所有橫縱坐標均為整數(shù)的點的坐標．

Answer 1

分析：（1）分式分子x-1變形為x+2-3，利用同分母分式減法逆運算法則變形即可得到結(jié)果；
（2）將分式分子2x-1變形為2（x+1）-3，利用同分母分式的減法逆運算法則變形后，由分式的值為整數(shù)，即可求出x可能的值；
（3）將函數(shù)解析式分子變形后，利用同分母分式的加法逆運算法則變形，根據(jù)x與y為整數(shù)，得出x與y的值，即可確定出所求的坐標．

解答：解：（1）

x-1

x+2

=

(x+2)-3

x+2

=1-

3

x+2

；            

（2）

2x-1

x+1

=

2(x+1)-3

x+1

=2-

3

x+1

，
∵當

2x-1

x+1

為整數(shù)時，

3

x+1

也為整數(shù)，
∴x+1可取得的整數(shù)值為±1、±3，
∴x的可能整數(shù)值為0，-2，2，-4；

（3）y=

2x2-1

x+1

=

2(x2-1)+1

x+1

=2（x-1）+

1

x+1

，
當x，y均為整數(shù)時，必有x+1=±1，
解得x=0或-2，
則相應的y值分別為-1或-7，
故所求的坐標為（0，-1）或（-2，-7）．

點評：此題考查了分式的混合運算，分式的值，以及反比例圖象上點的坐標特征，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時，分式的分子分母出現(xiàn)多項式，應將多項式分解因式后再約分．