Question

【題目】已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是AC的延長線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)P從B運(yùn)動向A、點(diǎn)Q從C運(yùn)動向Q移動的時間和速度相同，PQ與BC相交于點(diǎn)D，若AB=，BC=16．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時，求CD的長；

（2）如圖②，過點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動的過程中，設(shè)BE+CD=λ，λ是否為常數(shù)？若是請求出λ的值，若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）8

【解析】

（1）過P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F，由點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)，且速度相同，得出BP=CQ，根據(jù)PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，則可得出∠B=∠PFB，證出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS證明△PFD≌△QCD，得出，再證出F是BC的中點(diǎn)，即可得出結(jié)果；
（2）過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF為等腰三角形，可得BE=BF，由（1）證明方法可得△PFD≌△QCD 則有CD=，即可得出BE+CD=8．

解:（1）如圖①，過P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F，

∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)，且速度相同，

∴BP=CQ，

∵PF∥AQ，

∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠PFB，

∴BP=PF，

∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，

∴△PFD≌△QCD，

∴DF=CD=CF，

又因P是AB的中點(diǎn)，PF∥AQ，

∴F是BC的中點(diǎn)，即FC=BC=8，

∴CD=CF=4；

（2）為定值．

如圖②，點(diǎn)P在線段AB上，

過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，

易知△PBF為等腰三角形，

∵PE⊥BF

∴BE=BF

∵易得△PFD≌△QCD

∴CD=

∴