Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，其坐標(biāo)為（0，4），x軸上的一動(dòng)

P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，以P為直角頂點(diǎn)

第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）填空：當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

（2）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)AB∥x軸時(shí)，求t的值；

（3）通過探索，發(fā)現(xiàn)無論P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處，點(diǎn)B始終在一直線上，試求出該直線的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，4）；（2）t=4；（3）y＝x﹣4

【解析】

（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)向右平移2個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)O，此時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（﹣2，4），將點(diǎn)A圍繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，2），將點(diǎn)B的坐標(biāo)向右平移2個(gè)單位，即為此時(shí)的點(diǎn)B（6，2），即可求解；

（2）過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖所示．證明四邊形ABCO為長方形，則AO＝BC＝4，則△APB為等腰直角三角形，即可求解；

（3）證明△PAO≌△BPC（AAS）．則AP＝BP，AO＝PC，BC＝PO．點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)P（t，0），點(diǎn)B（x，y），則PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，即可求解．

（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)向右平移2個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)O，此時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（﹣2，4），

將點(diǎn)A圍繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，2），

將點(diǎn)B的坐標(biāo)向右平移2個(gè)單位，即為此時(shí)的點(diǎn)B（6，2）；

（2）過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，

∴四邊形ABCO為長方形，

∴AO＝BC＝4．

∵△APB為等腰直角三角形，

∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，

∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA＝OP＝4，t＝4÷1＝4（秒）；

（3）∵△APB為等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC＝180°﹣90°＝90°．

又∵∠PAO+∠APO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC．

∠PAO＝∠BPC，

在△PAO和△BPC中，∠AOP＝∠PCB＝90°，

∴△PAO≌△BPC（AAS）．

AP＝BP，

∴AO＝PC，BC＝PO．

∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)P（t，0），點(diǎn)B（x，y），

∴PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，

∴y＝x﹣4．