Question

【題目】[提出問題]正多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和與這個正多邊形的邊及內(nèi)角有什么關(guān)系？

[探索發(fā)現(xiàn)]

為了解決這個問題，我們不妨從最簡單的正多邊形-------正三角形入手

如圖①，是正三角形，邊長是是內(nèi)任意一點(diǎn)，到各邊距離分別為，確定的值與的邊及內(nèi)角的關(guān)系．

如圖②，五邊形是正五邊形，邊長是是正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，到五邊形各邊距離分別為， 參照的探索過程，確定的值與正五邊形的邊及內(nèi)角的關(guān)系．

類比上述探索過程：

正六邊形(邊長為)內(nèi)任意一點(diǎn) 到各邊距離之和

正八邊形(邊長為)內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊距離之和

[問題解決]正邊形(邊長為)內(nèi)任意-一點(diǎn)P到各邊距離之和

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），；[問題解決]

【解析】

（1）設(shè)的面積為，顯然，過點(diǎn)作，垂足為，易知，可知，根據(jù)面積相等可得，化簡可得.

（2）設(shè)正五邊形的面積為，顯然，設(shè)正五邊形的中心為，連接，它們將正五邊形分成五個全等的等腰三角形，過點(diǎn)作，垂足為，易知，同樣表示出五邊形的面積，再利用面積相等法即可求得.

（3）根據(jù)（1）（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得答案.

[問題解決]總結(jié)上面的規(guī)律即可.

解：（1）設(shè)的面積為，

顯然

設(shè)的中心(正多邊形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，又稱正多邊形的中心)為，

連接，

它們將分成三個全等的等腰三角形，

過點(diǎn)作，垂足為，易知

所以

那么，

所以

解：設(shè)正五邊形的面積為，

顯然

設(shè)正五邊形的中心為，

連接，

它們將正五邊形分成五個全等的等腰三角形，

過點(diǎn)作，

垂足為，易知

所以

那么

所以

若圖形為正六邊形，則其面積可表示為S=，也可表示為，

根據(jù)面積相等法可得，即

同理得：當(dāng)圖形為正八邊形時，.

故答案為：，；

【問題解決】

根據(jù)上面題目的規(guī)律可得正邊形(邊長為)內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離之和=，

故答案為：