Question

如圖所示，矩形ABCD中，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，AF垂直平分OB，垂足為E，CH垂直平分OD，垂足為G，求證：四邊形AFCH是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定

專(zhuān)題：證明題

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)推出OA=OB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=OA，得出等邊△OAB；根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AH∥CF，根據(jù)垂直得出AF∥CH，求出∠DAC=∠ACG=30°，推出AH=CH，根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定得出即可．

解答：證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AF垂直平分線段OB，
∴AB=OA，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AE⊥BD，
∴∠BAE=∠CAE=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=90°，
∴∠DAC=90°-30°-30°=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵CH垂直平分線段OD，
∴CD=OC，
∴CD=OD=OC，
∴△DOC是等邊三角形，
∵CG⊥BD，
∴∠DCG=∠ACG=30°，
∴∠DAC=∠ACG，
∴AH=CH，
∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴AF∥CH，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFCH是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等腰三角形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出四邊形AFCH是平行四邊形和求出AH=CH．