Question

已知，O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如圖1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度數；
（2）在圖1中，若∠AOC=a，直接寫出∠DOE的度數（用含a的代數式表示）；
（3）將圖1中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉至圖2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由；
②在∠AOC的內部有一條射線OF，滿足：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，
試確定∠AOF 與∠DOE的度數之間的關系，說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得∠BOC=180°-∠AOC=150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COD-∠BOC=90°-×150°=15°；

（2）由（1）∴∠DOE=∠COD-∠BOC=90°，
∴∠DOE=90°-（180°-∠AOC），
∴∠DOE=∠AOC=α；

（3）∠AOC=2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，
則得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE），
所以得：∠AOC=2∠DOE；
②4∠DOE-5∠AOF=180°
理由：設∠DOE=x，∠AOF=y，
左邊=∠AOC-4∠AOF=2∠DOE-4∠AOF=2x-4y，
右邊=2∠BOE+∠AOF=2（90-x）+y=180-2 x+y，
所以，2x-4y=180-2 x+y 即4x-5y=180，
所以，4∠DOE-5∠AOF=180°．
分析：（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度數；
（2）由（1）可得出結論∠DOE=∠AOC，從而用含a的代數式表示出∠DOE的度數；
（3）由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，則得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE），從而得出∠AOC和∠DOE的度數之間的關系；
（4）設∠DOE=x，∠AOF=y，根據已知和：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，得出4x-5y=180，從而得出結論．
點評：此題考查的知識點是角平分線的性質、旋轉性質及角的計算，關鍵是正確運用好有關性質準確計算角的和差倍分．