Question

已知：如圖△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，B與原點(diǎn)重合，PQ交AC于D．
（1）寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)

（2，2

3

）

；
（2）當(dāng)△DCQ為等腰三角形時(shí)，求t的值；
（3）若△PCQ的面積為S，P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得出OE、AE的長(zhǎng)度，繼而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）△DCQ為等腰三角形，則可得∠PQO=30°，則△POQ是含30°角的直角三角形，根據(jù)OQ=2OP，可得出t的值；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OC于點(diǎn)F，先表示出OP，在Rt△OPF中表示出PF，繼而可表示出△PCQ的面積，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴OE=

1

2

OA=2，AE=

3

OE=2

3

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2

3

）；

（2）∵△CDQ為等腰三角形，∠DCQ=120°，
∴∠CDQ=∠CQD=30°，
又∵∠AOC=60°，
∴△OPQ為直角三角形，
∴OQ=2OP，即4+t=2（4-t），
解得：t=

4

3

；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OC于點(diǎn)F，
∵OP=4-t，∠OPE=30°，
∴OF=

4-t

2

，PF=

3

OF=

4 3 - 3 t

2

，
∴S_△PCQ=

1

2

CQ×PF=

1

2

×t×

4 3 - 3 t

2

=-

3

4

t²+

3

t=-

3

4

（t-2）²+

3

，
∴當(dāng)t=2時(shí)，△PCQ的面積最大，S的最大值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及配方法求二次函數(shù)最值的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是基本知識(shí)的融會(huì)貫通．