Question

（2012•香洲區(qū)一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為28，動點P從A開始在線段AD上以每秒3個單位長度的速度向點D運動（點P到達(dá)點D時終止運動），動直線EF從AD開始以每秒1個單位長度的速度向下平行移動（即EF∥AD），并且分別與DC、AC交于E、F兩點，連接FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t 秒．
（1）t為何值時，梯形DPFE的面積最大？最大面積是多少？
（2）當(dāng)梯形DPFE的面積等于△APF的面積時，求線段PF的長．
（3）△DPF能否為一個等腰三角形？若能，試求出所有的t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出AO=OF=t，DP=AD-AP=28-3t，DE=AO=OF=t，EF=OE-OF=28-t，根據(jù)面積公式求出即可；
（2）根據(jù)面積相等得出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可；
（3）分為三種情況：①DP=PF，②DF=DF，③PF=DF，根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于t的方程，求出即可．

解答：解：（1）
∵在正方形ABCD中，∠BAC=45°，∠BAD=90°，
∴∠OAF=45°=∠OFA，
∴AO=OF=t，
∵DP=AD-AP=28-3t，DE=AO=OF=t，EF=OE-OF=28-t，
∴S_梯形DPFE=

1

2

（DP+EF）×ED，
即S=

1

2

（28-3t+28-t）t
S=-2t²+28t=-2（t-7）²+98，
∵-2＜0，
∴S有最大值，當(dāng)t=7時，S的最大值是98；
（2）∵梯形DPFE的面積等于△APF的面積，
∴-2t²+28t=

1

2

•3t•t，
解得：t=0（此時不存在梯形DPFE，舍去），t=8，

過F作FN⊥AD于N，
則OF=AN=t=8，NP=3t-t=2t=16，
由勾股定理得：PF=

t2+(2t)2

=

5

t=8

5

；
（3）分為三種情況：①當(dāng)PF=DP時，
則28-3t=

5

t，
t=21-7

5

；
②當(dāng)DF=PD時，

(28-t)2+t2

=

(28-3t)2

t=0（舍去），t=16＞

28

3

舍去；
③當(dāng)PF=CF時，由勾股定理得：[28-

1

2

（28-3t）]²+t²=t²+[

1

2

（28-3t）]²，
即14+

3

2

t=14-

3

2

t，解得：t=0（舍去）；
14+

3

2

t）=-（14-

3

2

t），此方程無解；
綜合上述：當(dāng)t=21-7

5

時，
即△DPF能為一個等腰三角形，此時t的值是21-7

5

．

點評：本題考查了勾股定理，梯形和三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，也考查二次函數(shù)的解析式，最值問題，以及坐標(biāo)的變換的應(yīng)用．