Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為$\sqrt{2}$的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)B，A在x，y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸，y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O）頂點(diǎn)C、D都在第一象限．
（1）如圖1，當(dāng)∠ABO=45°時(shí)，求直線OE的解析式，并說明OE平分∠AOB；
（2）當(dāng)∠ABO≠45°時(shí)（如圖2所示）：OE是否還平分∠AOB仍然成立？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合AB=$\sqrt{2}$，∠ABO=45°，可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)以及四邊形AOBE是正方形，從而可得出OE平分∠AOB，再由點(diǎn)E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線OE的解析式；
（2）過點(diǎn)E做EF、EG分別垂直于y軸和x軸，垂足分別是點(diǎn)F和點(diǎn)G，則四邊形EFOG是矩形，根據(jù)邊角關(guān)系可證出△FEA≌△GEB，進(jìn)而得出FE=GE，由此即可得出矩形EFOG是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出OE平分∠AOB．

解答 解：（1）∵邊長為$\sqrt{2}$的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)E，
∴AE⊥BE，AE=BE，AB=$\sqrt{2}$，∠ABE=45°，
∴由勾股定理得：AE²+BE²=AB²，即2AE²=$（\sqrt{2}）^{2}$，
∴AE=BE=1．
∵∠ABO=45°，
∴∠OBE=∠AEB=∠AOB=90°，
∴四邊形AOBE是正方形，
∴OE平分∠AOB，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，1）．
設(shè)直線OE的解析式為：y=kx（k≠0），
則有1=k×1，即k=1，
∴直線OE的解析式為y=x．
（2）OE平分∠AOB仍然成立．
證明：過點(diǎn)E做EF、EG分別垂直于y軸和x軸，垂足分別是點(diǎn)F和點(diǎn)G，則四邊形EFOG是矩形，如圖所示．
∴∠FEG=90°，
∴∠FEA+∠AEG=90°．
又∵∠AEG+∠GEB=90°，
∴∠FEA=∠GEB．
在△FEA和△GEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEA=∠GEB}\\{∠AFE=∠BGE=90°}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△FEA≌△GEB（AAS），
∴FE=GE，
∴矩形EFOG是正方形，
∴OE平分∠AOB．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）證出矩形EFOG是正方形．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．