【題目】如圖1，在矩形紙片中，，，折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為，過點(diǎn)作交于，連接．

圖1 圖2

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)，也隨之移動(dòng)；

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（如圖2），求菱形的邊長(zhǎng)；

②若限定，分別在邊，上移動(dòng)，則點(diǎn)在邊上移動(dòng)的最大距離是_______．

【答案】（1）見解析；（2）①；②點(diǎn)在邊上移動(dòng)的最大距離為

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)得出，，，由平行線的性質(zhì)得出，證出，得出，因此，即可得出結(jié)論；

（2）①由矩形的性質(zhì)得出，，，由對(duì)稱的性質(zhì)得出，在中，由勾股定理求出，得出；在中，由勾股定理得出方程，解方程得出即可；

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)離點(diǎn)最近，由①知，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)離點(diǎn)最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形為正方形，，即可得出答案．

（1）證明：折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為，

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，

，，．

又，

，，

，，

四邊形為菱形．

（2）解：①四邊形是矩形，

，，．

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，

．

在中，

，

．

在中，

，，

．

解得，．

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)離點(diǎn)最近，如圖，由①知，此時(shí)．

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)離點(diǎn)最遠(yuǎn)，如下圖：此時(shí)四邊形為正方形，，

點(diǎn)在邊上移動(dòng)的最大距離為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，內(nèi)接于以為直徑的中，且點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）試判斷的形狀，并給予證明；

（2）若，，求的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某高中學(xué)校為使高一新生入校后及時(shí)穿上合身的校服，現(xiàn)提前對(duì)某校九年級(jí)（1）班學(xué)生即將所穿校服型號(hào)情況進(jìn)行摸底調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如圖兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖（校服型號(hào)以身高作為標(biāo)準(zhǔn)，共分為6種型號(hào)）．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）該班共有多少名學(xué)生？

（2）在條形統(tǒng)計(jì)圖中，請(qǐng)把空缺部分補(bǔ)充完整；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，請(qǐng)計(jì)算185型校服所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的大小；

（3）求該班學(xué)生所穿校服型號(hào)的眾數(shù)和中位數(shù)．如果該高中學(xué)校準(zhǔn)備招收2000名高一新生，則估計(jì)需要準(zhǔn)備多少套180型號(hào)的校服？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】問題背景：如圖，四邊形中，，，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、．

問題探究

（1）如圖1，若，則的長(zhǎng)為__________．

（2）如圖2，請(qǐng)求出周長(zhǎng)的最小值；

（3）如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于，于點(diǎn)，連接

①是否存在點(diǎn)，使得的面積最大？若存在，求出面積的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

②請(qǐng)直接寫出面積的最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為調(diào)查市市民上班時(shí)最常用的交通工具的情況，隨機(jī)抽取了部分市民進(jìn)行調(diào)查，要求被調(diào)查者從“A：自行車，B：電動(dòng)車，C：公交車，D：家庭汽車，E：其他”五個(gè)選項(xiàng)中選擇最常用的一項(xiàng)，將所有調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如下不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題：

(1)在這次調(diào)查中，一共調(diào)查了 名市民，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C組對(duì)應(yīng)的扇形圓心角是 ；

(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)若甲、乙兩人上班時(shí)從A，B，C三種交通工具中隨機(jī)選擇一種，乙上班時(shí)從B、C、D三種交通工具中隨機(jī)選擇一種，請(qǐng)用樹狀圖法或列表法求甲、乙兩人都不選B種交通工具上班的概率．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若圖中陰影部分的三角形都是等腰直角三角形，則從左往右數(shù)第5個(gè)陰影三角形的面積是_____，第2019個(gè)陰影三角形的面積是_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以相同的長(zhǎng)（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．若AC＝3，AB＝5，則DE等于_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】矩形對(duì)角線的四等分點(diǎn)叫做矩形的奇特點(diǎn)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（在的左側(cè)），且軸，以為邊畫矩形，原點(diǎn)在邊上．

（1）如圖1，當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求該矩形在第一象限內(nèi)的奇特點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）如圖2，在點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)過程中，連結(jié)交拋物線于點(diǎn)．

①求證：點(diǎn)為矩形的奇特點(diǎn)；

②連結(jié)，若，拋物線上的點(diǎn)為矩形的另一奇特點(diǎn)，求經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓的半徑．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接AF、BF．

（1）求AF和BE的長(zhǎng)；

（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過的線段長(zhǎng)度）．當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時(shí)，直接寫出相應(yīng)的m的值．

（3）如圖②，將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P，與直線BD交于點(diǎn)Q．是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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