Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點C是y軸正半軸上的一個動點，拋物線y＝ax2﹣5ax+4a（a是常數(shù)，且a＞0）過點C，與x軸交于點A、B，點A在點B的左邊．連接AC，以AC為邊作等邊三角形ACD，點D與點O在直線AC兩側．

（1）求點A，B的坐標；

（2）當CD∥x軸時，求拋物線的函數(shù)表達式；

（3）連接BD，當BD最短時，請直接寫出拋物線的函數(shù)表達式．

Answer 1

【答案】（1）點A、B的坐標分別為（1，0）、（4，0）；（2）y＝x2﹣x+；（3）y＝x2﹣x+．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線解析式求解與x軸的交點坐標即y=0是x的值，即可得出A，B的坐標；

（2）根據(jù)三角形ACD是等邊三角形可知∠OCA的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)值可求點C坐標，從而可求答案；

（3）過點D作DE⊥AC于點E，過點D作x軸的垂線于點H，過點E作EF∥x軸交y軸于點F交DH于點G，根據(jù)點E坐標進一步求△CFE∽△EGD，進而可求答案.

（1）y＝ax2﹣5ax+4a，令y＝0，則x＝1或4，

∵點A在點B的左邊

故點A、B的坐標分別為：（1，0）、（4，0）；

（2）∵點A坐標為（1,0），∴OA=1

∵△ACD是等邊三角形，∴∠DCA=60°

當CD∥x軸時，∠DCO=90°

∴∠ACO=30°，則∠OCA＝60°，

則OC＝OAtan60°=，故點C（0，），

即＝4a，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：；

（3）如圖，過點D作DE⊥AC于點E，過點D作x軸的垂線于點H，過點E作EF∥x軸交y軸于點F交DH于點G，

∵△ACD為等邊三角形，則點E為AC的中點，則點E（，2a），AE＝CE＝ED，

∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠ECF，

∴△CFE∽△EGD，∴，其中EF＝，CF＝2a，

解得：GE＝a，DG＝，故點D（），

BD2＝（，

故當a＝時，BD最小，

故拋物線的表達式為：y＝．