【題目】已知:如圖,在ABCD中,延長DA到點E,延長BC到點F,使得AE=CF,連接EF,分別交AB,CD于點H,G,連接DH,BG.

(1)求證:△AEH≌△CFG;

(2)連接BE,若BE=DE,則四邊形BGDH是什么特殊四邊形?請說明理由.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】分析: (1)先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出AD∥BC,∠DAB=∠BCD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)及補角的性質(zhì)得出∠E=∠F,∠EAH=∠FCG,從而利用ASA可作出證明;

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及(1)的結(jié)論可得BH∥DG,BH=DG,則由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形BHDG是平行四邊形,再證明BH=DH即可得到四邊形BHDG是菱形

詳解:

(1)四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠DAB=BCD,

∴∠EAH=FCG,

又∵ADBC,

∴∠E=F.

∵在△AEH與△CFG中,

,

∴△AEH≌△CFG(ASA);

(2)連接BE,∵四邊形ABCD是平行四邊形,

ABCDAB=CD,

又由(1)得AH=CG,AEH=F,AE=CF,

BH∥DG,BH=DG,,

∴四邊形BHDG是平行四邊形,

AE=CF,AD=BC,

DE=BF,

BE=DE,

BE=BF,

∴∠BEF=F,

∵∠AEH=F,

∴∠BEF=DEF,

在△BEH和△DEH中,

,

BH=DH,

∵四邊形BHDG是平行四邊形,

∴四邊形BHDG是菱形.

點睛: 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握ASASAS證明兩個三角形的判定以及菱形的判定定理,此題有一定的難度.

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