Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x+2交y軸交于點(diǎn)D，交拋物線于E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與E、F不重合），PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)P在什么位置時(shí)，四邊形PDCQ為平行四邊形？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)P使△POB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得，
解得，
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+3x+4；

（2）∵PQ∥y軸，
∴當(dāng)PQ=CD時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²+3x+4=4y=x+2=2，
∴C（0，4），D（0，2），
∴CD=2，
設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則Q點(diǎn)橫坐標(biāo)也為m，
∴PQ=（-m²+3m+4）-（m+2）=2，
解得m₁=0，m₂=2，
當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，不能構(gòu)成平行四邊形，
∴m=2，m+2=4
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）；

（3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）或．
分析：（1）把A與B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得到關(guān)于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解集即可得到a與b的值，然后把a(bǔ)與b的值代入拋物線的解析式即可確定出拋物線的解析式；
（2）因?yàn)镻Q與y軸平行，要使四邊形PDCQ為平行四邊形，即要保證PQ等于CD，所以令x=0，求出拋物線解析式中的y即為D的縱坐標(biāo)，又根據(jù)拋物線的解析式求出C的坐標(biāo)，即可求出CD的長(zhǎng)，設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m即為Q的橫坐標(biāo)，表示出PQ的長(zhǎng)，令其等于2列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，判斷符合題意的m的值，即可求出P的坐標(biāo)；
（3）存在．分兩種情況考慮：當(dāng)OB作底時(shí)，求出線段OB垂直平分線與直線EF的交點(diǎn)即為P的位置，求出此時(shí)P的坐標(biāo)即可；當(dāng)OB作為腰時(shí)，得到OB等于OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及OB的長(zhǎng)，利用勾股定理及相似的知識(shí)即可求出此時(shí)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握平行四邊形的性質(zhì)及判斷，靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．