Question

【題目】如圖線段OA＝12，線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，形成扇形OAB，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接OE，與CD的交點(diǎn)為F，點(diǎn)C在OA上，AC＝4．

（1）①CD＝　 　；②當(dāng)BE弧長(zhǎng)為4π時(shí)，∠BOE＝　 　．

（2）當(dāng)四邊形ODEC面積最大時(shí)，求EF．

（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在一個(gè)時(shí)刻使CE+2DE有最小值？若存在請(qǐng)直接寫出答案；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①10；②60°；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算CD，由弧長(zhǎng)公式可求出∠BOE；
（2）四邊形面積最大時(shí)，兩三角形的高的和等于半徑，即可求得EF；
（3）延長(zhǎng)OB至點(diǎn)G，使BG=OB，連接GE、GC、DE．證明△DOE～△EOG，得到EG=2DE，所以CE+2DE=CE+EG，當(dāng)C、E、G三點(diǎn)在同一直線上上時(shí)，CE+EG最小，此時(shí)CE+EG＝CG＝＝＝8，即CE+2DE有最小值為8.

解：（1）①在Rt△OCD中，∠COD＝90°，OC＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OD＝OB＝＝6，

∴＝＝10，

故答案為：10；

②設(shè)∠BOE＝n°，由弧長(zhǎng)公式得：，解得：n＝6

∴∠BOE＝60°；

故答案為：60°；

（2）分別過(guò)O、E作OM⊥CD于M，EN⊥CD于N，

∵CD＝10，

∴S四邊形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝CD（OM+EN）≤CDOE＝×10×12＝60；

此時(shí)，OM、EN、OE重合，

∵OMCD＝OCOD

∴10×OM＝6×8，OM＝，

∴＝；

（3）延長(zhǎng)OB至點(diǎn)G，使BG＝OB，連接GE、GC、DE．

∴

∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，OB＝OE，

∴，

∴，

又∠DOE＝∠EOG，

∴△DOE～△EOG，

，

即EG＝2DE，

∴CE+2DE＝CE+EG，

當(dāng)C、E、G三點(diǎn)在同一直線上上時(shí)，CE+EG最小，

CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，

此時(shí)CE+EG＝CG＝＝＝8，

故CE+2DE有最小值為8．