Question

【題目】探究：如圖①，在矩形ABCD中，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作Rt△AEF，連結(jié)BE、DF，直線DF交直線BE于點(diǎn)G，DG與AB交于點(diǎn)H，且．

（1）求證：△ABE∽△ADF．

（2）求證：DG⊥BE；

拓展：如圖②，在ABCD中，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作∠EAF＝∠BAD，連結(jié)BE、DF，直線DF交直線BE于點(diǎn)G，且，若∠BCD＝130°，則∠EGD的大小為　 　度．

Answer 1

【答案】（1）△ABE∽△ADF；（2）50．

【解析】

探究：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BAD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EAB=∠DAF，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ADF=∠ABE，根據(jù)對頂角相等得到∠AHD=∠BHG，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；拓展：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AD∥BC，求得∠ABC=180°-∠C=50°，∠ADF=∠2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ADF=∠3，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到結(jié)論．

探究：（1）在矩形ABCD中，

∵∠BAD＝90°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠EAB+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝90°，

∴∠EAB＝∠DAF，

∵，

∴△ABE∽△ADF；

（2）∵△ABE∽△ADF，

∴∠ADF＝∠ABE，

設(shè)AB與DG的交點(diǎn)為H，

∵∠AHD＝∠BHG，

∴∠BGH＝180°﹣∠ABG﹣∠BHG＝180°﹣∠AHF﹣∠ADF＝∠BAD＝90°，

∴DG⊥BE；

拓展：在ABCD中，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠ABC＝180°﹣∠C＝50°，∠ADF＝∠2，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，

即∠EAB＝∠DAF，

∵，

∴△ABE∽△ADF，

∴∠ADF＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∵∠ABC＝180°﹣∠GBC﹣∠3，∠EGD＝180°﹣∠GBD﹣∠2，

∴∠EGD＝∠ABC＝50°，

故答案為：50．