Question

在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°
①當點D在線段BC上時（不與點B重合），如圖1，請你判斷線段CE，BD之間的位置關系和數(shù)量關系（直接寫出結論）；
②當點D在線段BC的延長線上時，請你在圖2中畫出圖形，并判斷①中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷．
（2）如圖3，若點D在線段BC上運動，DF⊥AD交線段CE于點F，且∠ACB=45°，AC=3

2

，試求線段CF長的最大值．

Answer 1

分析：（1）線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，根據(jù)旋轉的性質得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．
②證明的方法與（1）一樣．
（2）過A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根據(jù)旋轉的性質得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，則NE=MA，由于∠ACB=45°，則AM=MC，所以MC=NE，易得四邊形MCEN為矩形，得到∠DCF=90°，
由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF，得

MD

CF

=

AM

DC

，設DC=x，而∠ACB=45°，AC=3

2

，得AM=CM=3，MD=3-x，利用相似比可得到CF=-

1

3

x²+1，再利用二次函數(shù)即可求得CF的最大值．

解答：解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴線段CE，BD之間的位置關系和數(shù)量關系為：CE=BD，CE⊥BD．
②①中的結論仍然成立．理由如下：
如圖，
∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，
所以線段CE，BD之間的位置關系和數(shù)量關系為：CE=BD，CE⊥BD．

（2）過A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，如圖，
∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，
易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵∠ACB=45°，
∴△AMC為等腰直角三角形，
∴AM=MC，
∴MC=NE，
∵AM⊥BC，EN⊥AM，
∴NE∥MC，
∴四邊形MCEN為平行四邊形，
∵∠AMC=90°，
∴四邊形MCEN為矩形，
∴∠DCF=90°，
∴Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴

MD

CF

=

AM

DC

，
設DC=x，
∵∠ACB=45°，AC=3

2

，
∴AM=CM=3，MD=3-x，
∴

3-x

CF

=

3

x

，
∴CF=-

1

3

x²+x，
∴當x=1.5時有最大值，最大值為0.75．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等腰直角三角形的性質和三角形全等及相似的判定與性質．