Question

【題目】如圖1，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，AC＝AB，BC為⊙O的直徑．

（1）在圖1直徑BC上方的圓弧上找一點(diǎn)P，使得PA＝PB；（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）連接PA，求證：PA是⊙O的切線；

（3）在（1）的條件下，連接PC、PB，∠PAB的平分線分別交PC、PB于點(diǎn)D、E．求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）作出線段AB的垂直平分線，得到點(diǎn)P；

（2）連接OP、BP、CP，證明△PAC≌△PBO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PC＝PO，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、切線的判定定理證明；

（3）作EF∥PC交AB于F，證明△AEP和△AEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝AP＝r，根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算即可．

（1）如圖（1）所示：PA＝PB；

（2）證明：連接OP、BP、CP，

∵AC＝AB，OC＝OB，

∴AC＝OB，

∵PA＝PB，

∴∠A＝∠PBA，

在△PAC和△PBO中，

，

∴△PAC≌△PBO（SAS）

∴PC＝PO，又OP＝OC，

∴OP＝PC＝OC，

∴△POC為等邊三角形，

∴∠POC＝60°，

∴∠A＝∠PBO＝∠POC＝30°，

∴∠OPA＝90°，

∴PA是⊙O的切線；

（3）解：作EF∥PC交AB于F，

設(shè)⊙O的半徑為r，則AC＝3r，AH＝r，

∴AP＝＝r，

∠PDE＝∠PAE+∠APD，∠PED＝∠BAE+∠ABE，∠ABE＝∠APD，

∴∠PDE＝∠PED，

∵EF∥PC，

∴∠PDE＝∠AEF，

∴∠PED＝∠AEF，

在△AEP和△AEF中，

，

∴△AEP和△AEF（ASA），

∴AF＝AP＝r，

∵EF∥PC，

∴＝＝．