Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P，Q，給出如下定義：若P，Q為某個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且邊PQ上的高h，滿足h＝PQ，則稱該三角形為點(diǎn)P，Q的“生成三角形”．

（1）已知點(diǎn)A（4，0）；

①若以線段OA為底的某等腰三角形恰好是點(diǎn)O，A的“生成三角形”，求該三角形的腰長(zhǎng)；

②若Rt△ABC是點(diǎn)A，B的“生成三角形”，且點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C在直線y＝2x﹣5上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　；

（2）⊙T的圓心為點(diǎn)T（2，0），半徑為2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，6），N為直線y＝x+4上一點(diǎn)，若存在Rt△MND，是點(diǎn)M，N的“生成三角形”，且邊ND與⊙T有公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②（1，0），（3，0）或（7，0）；（2）點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為.

【解析】

（1）①如圖（見解析），設(shè)滿足條件的三角形為等腰，過點(diǎn)R作于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)“生成三角形”的定義可得，最后利用勾股定理即可得；

②依題意，按點(diǎn)分別為直角頂點(diǎn)三種情況討論，根據(jù)“生成三角形”的定義和直線的解析式分別建立等式，求解即可；

（2）根據(jù)點(diǎn)分別為直角頂點(diǎn)三種情況討論，根據(jù)“生成三角形”的定義、結(jié)合圓的切線性質(zhì)列出等式，求解即可.

（1）①如圖，設(shè)滿足條件的三角形為等腰，則

過點(diǎn)R作于點(diǎn)H

∵以線段OA為底的等腰恰好是點(diǎn)O，A的“生成三角形”

在中，利用勾股定理得：

故該三角形的腰長(zhǎng)為；

②依題意，分以下三種情況討論：

當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，則

因點(diǎn)A的坐標(biāo)為

令代入得，即

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為

則，解得或

故點(diǎn)B的坐標(biāo)為或

當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，則

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則

令代入得，即

則有

兩邊平方化簡(jiǎn)得，解得或

故點(diǎn)B的坐標(biāo)為或

當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則

令代入得

由“生成三角形”的定義得

則

又

，即

令，則

化簡(jiǎn)得，此方程的根的判別式，方程沒有實(shí)數(shù)根

則點(diǎn)C不能為的直角頂點(diǎn)

綜上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，或；

（2）當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)

由點(diǎn)M的坐標(biāo)可知，點(diǎn)M在直線上

由直線可知，

則當(dāng)點(diǎn)D在MT所在直線時(shí)，是點(diǎn)M，N的“生成三角形”

如圖，點(diǎn)N和是符合條件的兩個(gè)臨界位置

由圖可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

在中，

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為

由兩點(diǎn)之間距離公式得

解得，再代入直線得

當(dāng)點(diǎn)N在處時(shí)，圖中也是符合條件的“生成三角形”

此時(shí)，恰好與圓T相切，半徑

則是等腰直角三角形，且

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

由兩點(diǎn)之間距離公式得

解得，再代入直線得

故當(dāng)點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為

當(dāng)點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，

如圖，和均平行于x軸，且與圓T分別相切于點(diǎn)F，

由平行線的性質(zhì)和直線可知，

則和都是等腰直角三角形

因此，和都是符合條件的“生成三角形”， 此時(shí)，點(diǎn)N和是符合條件的兩個(gè)臨界位置

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為

點(diǎn)F的坐標(biāo)為

點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2，即

將代入得

同理可得

故當(dāng)點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為

當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，同（1）②中，當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)的思路一樣，可證此時(shí)不存在符合條件的

綜上，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為.