Question

15．（1）如圖1，OP是∠MON的平分線，請你在圖1中畫出一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形．
（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F，請判斷寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖3，△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（2）中的其他條件不變，AE=3，CD=2，求AC的長度．

Answer 1

分析 （1）在∠MON的角平分線上任意取一點A，過點A作∠MON兩邊的垂線，垂足分別為B，C，則所構(gòu)成的兩個三角形全等，它們關(guān)于OP對稱；
（2）根據(jù)圖（1）的作法，在AC上截取CG=CD，證得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF=GF；再根據(jù)ASA證明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根據(jù)圖（1）的作法，在AC上截取AG=AE，證得△EAF≌△GAF（SAS），得出∠EFA=∠GFA；再根據(jù)ASA證明△FDC≌△FGC，得CD=CG，進而得出AC的長度．

解答 解：（1）如圖1所示，△AOB≌△AOC；


 （2）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為：DF=EF．
證明：如圖2，在AC上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分線，
∴∠DCF=∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{∠DCF=∠GCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF=GF．
∵∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，且∠EAF=∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=120°，
∴∠CFD=60°=∠CFG，
∴∠AFG=60°，
又∵∠AFE=∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠AFG}\\{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF=GF，
∴DF=EF；

（3）如圖3，在AC上截取AG=AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA=∠GFA．
又由題可知，∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°，
∴∠EFA=∠GFA=180°-120°=60°=∠DFC，
∴∠CFG=∠CFD=60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD=CG，
∴AC=AG+CG=AE+CD=3+2=5．

點評 此題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的運用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．