Question

【題目】如圖，DABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M，N分別從現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？
（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？
（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，
x×1+12=2x，解得：x=12
（2）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，

AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t=12-2t，
解得t=4，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊三角形△AMN
（3）解：當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，
由（1）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，
如圖②，

假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵ ，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，
設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，y-12=36-2y，解得：y=16．故假設(shè)成立．
∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒
【解析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M，N的運(yùn)動(dòng)路程，根據(jù)N的運(yùn)動(dòng)路程=M的運(yùn)動(dòng)路程+12，列出方程求解即可。
（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，要得到等邊三角形△AMN，由于∠A等于60°，只需AM=AN，然后用含t的代數(shù)式表示出AM，AN的長，所以根據(jù)AM=AN建立方程求解即可。
（3）首先假設(shè)△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出CM，NB，NM的長，根據(jù)CM=NB列出方程，可解出未知數(shù)的值即可。