【題目】如圖,ABC內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,∠ACB的平分線CD交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線PD,交CA的延長線于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F.
(1)求證:PD//AB;
(2)求證:DE=BF;
(3)若AC=6,tan∠CAB=,求線段PC的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)連結(jié)OD,由AB為⊙O的直徑,根據(jù)圓周角定理得AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°,再由ACD=∠BCD=45°,則∠DAB=∠ABD=45°,所以△DAB為等腰直角三角形,所以DO⊥AB,根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥PD,于是可得到DP∥AB;
(2)利用角的關(guān)系得出∠FBD=∠EDA,進(jìn)而得出△FBD≌△EDA,即可得出DE=BF;
(3)在Rt△ACB中,利用AC=6,tan∠CAB=,可得BC=8,再利用勾股定理得出AB=10,由△DAB為等腰直角三角形,可得AD=5,由AE⊥CD,得出△ACE為等腰直角三角形,得出AE=CE=3,在Rt△AED中,可得DE=4,得出CD=7,由角的關(guān)系得出△PDA∽△PCD,利用比例式可得出PA=PD,PC=PD,由PC=PA+AC,可求得PD=,即可得出PC的值.
證明:(1)連結(jié),如圖,
∵為的直徑,∴,
∵的平分線交于點(diǎn),
∴,
∴,
∴為等腰直角三角形,
∴,
∵為的切線,∴,∴.
(2)∵于點(diǎn),于點(diǎn),
∴,∴,
∴為等腰直角三角形,∴,
∵,∴,
在和中,,
∴,
∴.
(3)在,∵,,
∴,∴,
∵為等腰直角三角形,∴,
∵,
∴為等腰直角三角形,∴,
在中,,
∴,
∵,∴,∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,,
又∵,
∴,解得,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解九年級(jí)學(xué)生新冠疫情防控期間每天居家體育活動(dòng)的時(shí)間(單位:),在網(wǎng)上隨機(jī)調(diào)查了該校九年級(jí)部分學(xué)生.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖1和圖2.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的初中學(xué)生人數(shù)為________,圖①中的值為________;
(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________,眾數(shù)是________,中位數(shù)是________;
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)的這組每天居家體育活動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù),估計(jì)該校500名九年級(jí)學(xué)生居家期間每天體育活動(dòng)時(shí)間大于的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,D為的中點(diǎn),過D作DF⊥AB于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)F,交弦BC于點(diǎn)G,連接CD,BF.
(1)求證:△BFG≌△DCG;
(2)若AC=10,BE=8,求BF的長;
(3)在(2)的條件下,P為⊙O上一點(diǎn),連接BP,CP,弦CP交直徑AB于點(diǎn)H,若△BPH與△CPB相似,求CP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖1,四邊形是正方形,分別在邊、上,且,我們把這種模型稱為“半角模型”,在解決“半角模型”問題時(shí),旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法.
(1)在圖l中,連接,為了證明結(jié)論“”,小亮將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問題,請(qǐng)按小亮的思路寫出證明過程;
(2)如圖2,當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí),試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?
(3)如圖3,如果四邊形中,,,,且,,,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中點(diǎn)分別在邊、邊上,連接點(diǎn)、點(diǎn)在直線同側(cè),連接且.
(1)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),
①如圖1,時(shí),和的數(shù)量關(guān)系是 ;位置關(guān)系是 ;
②如圖2,時(shí),猜想和的關(guān)系,并說明理由;
(2)時(shí),
③如圖3,時(shí),若求的長度;
④如圖4,時(shí),點(diǎn)分別為和的中點(diǎn),若,直接寫出的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司銷售部有營業(yè)員20人,該公司為了調(diào)動(dòng)營業(yè)員的積極性,決定實(shí)行目標(biāo)管理,根據(jù)目標(biāo)完成的情況對(duì)營業(yè)員進(jìn)行適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì),為了確定一個(gè)適當(dāng)?shù)脑落N售目標(biāo),公司有關(guān)部門統(tǒng)計(jì)了這20人某月的銷售量,如下表所示:
某公司20位營業(yè)員月銷售目標(biāo)統(tǒng)計(jì)表
月銷售量/件數(shù) | 1760 | 480 | 220 | 180 | 120 | 90 |
人數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 4 |
請(qǐng)根據(jù)以上提供的信息解答下列問題:
(1)求這個(gè)月中20位營業(yè)員的月銷售量的平均數(shù);
(2)為了提高大多數(shù)營業(yè)員積極性,公司將發(fā)放A,B,C三個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)金(金額:),如果你是管理者,從平均數(shù),中位數(shù),眾數(shù)的角度進(jìn)行分析,你將如何確定領(lǐng)取A,B,C級(jí)獎(jiǎng)金各需達(dá)到的月銷售量.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠BAC=30°,把△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ADE的位置,使得點(diǎn)D,A,C在同一直線上.
(1)△ABC旋轉(zhuǎn)了多少度?
(2)連接CE,試判斷△AEC的形狀;
(3)求 ∠AEC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=4,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將△AEF沿EF所在直線翻折,得到△A'EF,連接A'C,A'D,則當(dāng)△A'DC是以A'D為腰的等腰三角形時(shí),FD的長是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)店專售一款電動(dòng)牙刷,其成本為20元/支,銷售中發(fā)現(xiàn),該商品每天的銷售量y(支)與銷售單價(jià)x(元/支)之間存在如圖所示的關(guān)系.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)由于湖北省武漢市爆發(fā)了新型冠狀病毒肺炎(簡(jiǎn)稱“新冠肺炎”)疫情,該網(wǎng)店店主決定從每天獲得的利潤中抽出200元捐獻(xiàn)給武漢,為了保證捐款后每天剩余利潤不低于550元,如何確定這款電動(dòng)牙刷的銷售單價(jià)?
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