Question

如圖，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AC且與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形AECD是等腰梯形；
（2）若AD=4，求梯形AECD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，先求證出四邊形AECD是梯形，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠DAE的度數(shù)，再根據(jù)AC⊥CE，求出∠E=60°，然后即可證明結(jié)論．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，利用三角函數(shù)值求出DH，然后再將已知數(shù)值代入梯形的面積公式即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形
∴DC∥AB，即：DC∥AE，
又AE＞AB=DC，
∴四邊形AECD是梯形．
∴∠DAE=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠CAE=

1

2

∠DAE=30°，
又AC⊥CE，
∴∠E=60°，
∴∠DAE=∠E，
∴四邊形AECD是等腰梯形．

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，
則：DH=AD•sin∠DAH=4sin60°=2

3

，
∴S梯形AECD=

1

2

×(4+8)×2

3

=12

3

．
答：若AD=4，梯形AECD的面積為12

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰梯形的判定和菱形的性質(zhì)的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．