Question

【題目】如圖，點在以為直徑的上，點是的中點，過點作垂直于，交的延長線于點，連接交于點.

（1）求證：是的切線；

（2）若，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）16.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由點C是的中點利用垂徑定理可得出OC⊥BE，由AB是⊙O的直徑可得出AD⊥BE，進(jìn)而可得出AD∥OC，再根據(jù)AD⊥CD可得出OC⊥CD，由此即可證出CD是⊙O的切線．

（2）過點O作OM⊥AC于點M，由點C是的中點利用圓周角定理可得出∠BAC=∠CAE，根據(jù)角平分線的定理結(jié)合cos∠CAD=可求出AB的長度，在Rt△AOM中，通過解直角三角形可求出AM的長度，再根據(jù)垂徑定理即可得出AC的長度．

試題解析：（1）證明：連接OC，如圖1所示．

∵點C是的中點，∴，∴OC⊥BE．

∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BE，∴AD∥OC．

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：過點O作OM⊥AC于點M，如圖2所示．

∵點C是的中點，∴，∠BAC=∠CAE，

∴．

∵cos∠CAD=，∴，∴AB=BF=20．

在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO=AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD=，

∴AM=AOcos∠OAM=8，∴AC=2AM=16．