Question

【題目】在等邊△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB延長線上，且ED=EC.

(1)當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，如圖①，AE DB（填“﹥”“﹤”或“=”），并說明理由;

(2)當(dāng)點(diǎn)E為AB上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②，AE DB（填“﹥”“﹤”或“=”），并說明理由;（提示：過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F）

(3)在等邊△ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長為1，AE=2，請你畫出圖形，并直接寫出相應(yīng)的CD的長.

Answer 1

【答案】（1）=，理由見解析；（2）=，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）當(dāng)D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時(shí)，由（2）求出CD=3，當(dāng)E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時(shí)，求出CD=1．

解：(1)=，理由如下:

∵ED=EC

∴∠D=∠ECD

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ACB=∠ABC=60°

∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)

∴∠BCE=∠ACE=30°，AE=BE

∴∠D=30°

∴∠DEB=∠ABC-∠D= 30°

∴∠DEB=∠D

∴BD=BE

∴BD=AE

(2) 過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F

∵△ABC是等邊三角形

∴∠AEF=∠ABC=60°， ∠AFE=∠ACB=60°， ∠FEC=∠ECB

∴∠EFC=∠EBD=120°

∵ED=EC

∴∠D=∠ECD

∴∠D=∠FEC

在△EFC和 △DBE中

∴△EFC≌△DBE

∴EF=DB

∵∠AEF=∠AFE=60°

∴△AEF 為等邊三角形

∴ AE=EF

∴DB =AE

（3）解：CD=1或3，
理由是：分為兩種情況：
①如圖3，過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，

則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=BC=，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴，
∴，
∴BN=，
∴CN=1+=，
∴CD=2CN=3；
②如圖4，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，

則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=BC=，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴，
∴=，
∴MN=1，
∴CN=1-=，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1．