Question

【題目】如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD．

（1）判斷直線CD和⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若BE＝5，CD＝8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）直線CD和⊙O的位置關系是相切，理由見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】

（1）因為直徑所對的圓周角是90°，所以∠ADB＝90°，所以∠DAB+∠DBA＝90°，

又因為OD＝OA，所以得出∠DAB＝∠ADO，之后進一步求解即可。

（2）根據(jù)CD是⊙O的切線，BE是⊙O的切線，所以得出DE＝BE＝5，∠CBE＝90°＝∠CDO，再利用勾股定理求出BC的長，進一步證明△COD∽△CEB，之后利用相似三角形性質求解即可。

（1）直線CD和⊙O的位置關系是相切，理由如下：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠DBA＝90°，

∵∠CDA＝∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA＝90°，

∵OD＝OA，

∴∠DAB＝∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO＝90°，

即∠CDO＝90°，

∴OD⊥CE，

∴直線CD是⊙O的切線；

（2）∵CD是⊙O的切線，BE是⊙O的切線，

∴DE＝BE＝5，∠CBE＝90°＝∠CDO，

∴CE＝CD+DE＝13，

∴BC＝＝,

∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CEB，

∴＝，即，

解得：OC＝，

∴OB＝BC﹣OC＝ ，

即⊙O的半徑為．