Question

【題目】如圖，ABCD的對(duì)角線、交于點(diǎn)，順次聯(lián)結(jié)ABCD各邊中點(diǎn)得到的一個(gè)新的四邊形，如果添加下列四個(gè)條件中的一個(gè)條件：①⊥；②；③；④，可以使這個(gè)新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個(gè)數(shù)是（）

A. 1個(gè)；B. 2個(gè)；

C. 3個(gè)；D. 4個(gè)．

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對(duì)角線位置、數(shù)量關(guān)系有關(guān)，利用三角形中位線性質(zhì)可得：當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)，所得新四邊形是矩形．逐一對(duì)四個(gè)條件進(jìn)行判斷．

解：順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對(duì)角線位置、數(shù)量關(guān)系有關(guān)，利用三角形中位線性質(zhì)可得：當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)，所得新四邊形是矩形．
①∵AC⊥BD，∴新的四邊形成為矩形，符合條件；

②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，BO=DO．

∵C△ABO=C△CBO，∴AB=BC．

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四邊形成為矩形，符合條件；

③∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CBO=∠ADO．

∵∠DAO=∠CBO，∴∠ADO=∠DAO．

∴AO=OD．

∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形是菱形，不符合條件；

④∵∠DAO=∠BAO，BO=DO，

∴AO⊥BD，即平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，

∴新四邊形是矩形．符合條件．

所以①②④符合條件．

故選：C．