Question

（2011•葫蘆島）如圖，有一直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點P，從初始位置Ⅰ開始，在無滑動的情況下沿數(shù)軸向右翻滾至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于數(shù)軸，且半⊙P與數(shù)軸相切于原點O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于數(shù)軸；位置Ⅲ中的MN在數(shù)軸上；位置Ⅴ中的點N到數(shù)軸的距離為3，且半⊙P與數(shù)軸相切于點A．
解答下列問題：
（1）位置Ⅰ中的MN與數(shù)軸之間的距離為

2

；位置Ⅱ中的半⊙P與數(shù)軸的位置關(guān)系是

相切

；
（2）求位置Ⅲ中的圓心P在數(shù)軸上表示的數(shù)；
（3）紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時，求點N所經(jīng)過路徑長及該紙片所掃過圖形的面積；
（4）求OA的長．
[（2），（3），（4）中的結(jié)果保留π]．

Answer 1

分析：（1）先求出圓的半徑，再根據(jù)切線的性質(zhì)進行解答；
（2）根據(jù)位置Ⅰ中

ON

的長與數(shù)軸上線段ON相等求出

ON

的長，再根據(jù)弧長公式求出

ON

的長，進而可得出結(jié)論；
（3）作NC垂直數(shù)軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形，在Rt△NPH中，根據(jù)sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

即可∠NPH、∠MPA的度數(shù)，進而可得出

MA

的長，

解答：解：（1）∵⊙P的直徑=4，
∴⊙P的半徑=2，
∵⊙P與直線有一個交點，
∴位置Ⅰ中的MN與數(shù)軸之間的距離為2；位置Ⅱ中的半⊙P與數(shù)軸的位置關(guān)系是相切；
故答案為：2，相切；

（2）位置Ⅰ中

ON

的長與數(shù)軸上線段ON相等，
∵

ON

的長為

90π•2

180

=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圓心P在數(shù)軸上表示的數(shù)為π+2．（4分）
（3）點N所經(jīng)過路徑長為

90π•4

180

=2π，（5分）
S_半圓=

180π•22

360

=2π，S_扇形=

90π•42

360

=4π，
半⊙P所掃過圖形的面積為2π+4π=6π．（7分）

（4）如圖，作NC垂直數(shù)軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
從而

MA

的長為

60π•2

180

=

2π

3

，于是OA的長為π+4+

2

3

π=

5

3

π+4．（10分）

點評：本題考查的是直線與圓的關(guān)系、弧長的計算、扇形的面積公式，在解答此題時要注意Ⅰ中

ON

的長與數(shù)軸上線段ON相等的數(shù)量關(guān)系．