11.如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D為BC邊的中點,以AD上一點O為圓心的⊙O和AB、BC均相切,則⊙O的半徑為( 。
A.1B.$\frac{6}{7}$C.$\frac{2}{3}$D.1.5

分析 首先過點0作OE⊥AB于點E,OF⊥BC于點F.根據(jù)切線的性質(zhì),知OE、OF是⊙O的半徑;然后由三角形的面積間的關(guān)系(S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD)列出關(guān)于圓的半徑的等式,求得圓的半徑即可.

解答 解:過點0作OE⊥AB于點E,OF⊥BC于點F.
∵AB、BC是⊙O的切線,
∴點E、F是切點,
∴OE、OF是⊙O的半徑;
∴OE=OF;
在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,
∴由勾股定理,得BC=4;
又∵D是BC邊的中點,
∴S△ABD=S△ACD,
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD
∴$\frac{1}{2}$AB•OE+$\frac{1}{2}$BD•OF=$\frac{1}{2}$CD•AC,
即5×OE+2×OE=2×3,
解得OE=$\frac{6}{7}$,
∴⊙O的半徑是$\frac{6}{7}$.
故選B.

點評 本題考查了切線的性質(zhì)與三角形的面積.注意運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點,利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題.

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