Question

【題目】如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點.

（1）求證：MN⊥DE．

（2）連結(jié)DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并證明猜想．

（3）當∠A變?yōu)殁g角時，如圖，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立， 若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠DME=180°-2∠A，理由見解析；（3）結(jié)論（1）成立， 結(jié)論（2）不成立.

【解析】試題分析：

（1）如圖，連接DM、ME，由CD、BE是△ABC的高可得∠BDC=∠BEC=90°，結(jié)合點M是BC的中點，可得ME=BC，MD=BC，由此可得ME=MD，再結(jié)合點N是DE的中點，利用等腰三角形的“三線合一”可得：MN⊥DE；

（2）由（1）可知：DM=ME=BM=MC，則：∠DBM=∠BDM，∠ECM=∠CEM，由此可得：∠DMB=180°-2∠DBM，∠EMC=180°-2∠ECM，結(jié)合∠DME=180°-∠DMB-∠EMC可得∠DME=2(∠DBM+∠ECM)-180°，再結(jié)合：∠DBM+∠ECM=180°-∠A可得∠DME=180°-2∠A；

（3）①同（1）中思路一樣可證得在當∠A為鈍角時，原來（1）中的結(jié)論成立；② 當∠A為鈍角時，由①可知，DM=ME=BM=MC，則∠MCE=∠MEC，∠MBD=∠MDB，由此可得∠BME=∠MEC+∠MCE=2∠MCE，∠CMD=∠MBD+∠MDB=2∠MBD，結(jié)合∠DME=180°-∠BME-∠CMD，可得∠DME=180°-2(∠MBD+∠MCE)，再結(jié)合∠MBD+∠MCE)=180°-∠A可得∠DME=2∠A-180°，從而可得原（2）中的結(jié)論不成立.

試題解析：

（1）如圖，連接DM，ME，

∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，

∴DM=BC，ME=BC，

∴DM=ME，

又∵N為DE中點，

∴MN⊥DE；

（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∵DM=ME=BM=MC，

∴∠DBM=∠BDM，∠ECM=∠CEM，

∴∠BMD=180°-2∠DBM，∠CME=180°-2∠ECM，

∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB）=360°-2（∠ABC+∠ACB）=360°-2（180°-∠A）=2∠A，

∴∠DME=180°-2∠A；

（3）結(jié)論（1）成立， 結(jié)論（2）不成立，

理由如下：

①如圖，連接DM，ME，

∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，

∴DM=BC，ME=BC，

∴DM=ME，

又∵N為DE中點，

∴MN⊥DE；

②由①可知，DM=ME=BM=MC，

∴∠MCE=∠MEC，∠MBD=∠MDB，

∴∠BME=∠MEC+∠MCE=2∠MCE，∠CMD=∠MBD+∠MDB=2∠MBD，

又∵∠DME=180°-∠BME-∠CMD，

∴∠DME=180°-2(∠MBD+∠MCE)，

又∵在△ABC中，∠MBD+∠MCE=180°-∠BAC

∴∠DME=180°-2(180°-∠BAC)=2∠BAC-180°.

∴（2）中原來的結(jié)論不成立.