Question

【題目】如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）且經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），直線y＝3x﹣4經(jīng)過點(diǎn)B（，n），與y軸交點(diǎn)為C．

（1）求拋物線的解析式及n的值；

（2）將直線BC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，求旋轉(zhuǎn)后的直線的解析式；

（3）如圖2將拋物線繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到新曲線，新曲線與直線BC交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+1，n＝2；（2）y＝﹣2x+4；（3）N（，）．

【解析】

（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2+1，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式得：2＝a+1，即可求解；

（2）點(diǎn)B圍繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，落在y軸上，設(shè)為點(diǎn)B′（0，4），同理點(diǎn)C（0，﹣4）圍繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，設(shè)旋轉(zhuǎn)后該點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′（4，﹣4），即可求解；

（3）在圖2中，作直線y＝﹣2x+4交拋物線于點(diǎn)N′，則拋物線和直線y＝﹣2x+4繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到新曲線和直線線y＝3x﹣4，由ON＝ON′，即可求解．

解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2+1，

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式得：2＝a+1，解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+1，

n＝3×2﹣4＝2；

（2）∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相同，BO＝4，

故點(diǎn)B圍繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，落在y軸上，設(shè)為點(diǎn)B′（0，4），

同理點(diǎn)C（0，﹣4）圍繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，設(shè)旋轉(zhuǎn)后該點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′（4，﹣4），

將BC坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝mx+n得：，解得：，

故旋轉(zhuǎn)后直線的表達(dá)式為：y＝﹣2x+4；

（3）在圖2中，作直線y＝﹣2x+4交拋物線于點(diǎn)N′，

則拋物線和直線y＝﹣2x+4繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到新曲線和直線線y＝3x﹣4，

聯(lián)立y＝x2+1與y＝﹣2x+4并解得：x＝1或﹣3（舍去﹣3），故點(diǎn)N′（1，2），

設(shè)點(diǎn)N（m，3m﹣4），

由題意得：ON＝ON′，

即：，解得：m＝（不合題意值已舍去），

故點(diǎn)N′（，）．