Question

【題目】如圖1，P（2，2），點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，且PA=PB．

（1）求證：PA⊥PB；

（2）若點(diǎn)A（8，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）求OA – OB的值；

（4）如圖2，若點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出OA+OB的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-4）；（3）4；（4）4．

【解析】

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，作PF⊥y軸于F，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得PE=PF=2，然后利用“HL”證明Rt△APE和Rt△BPF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠APE=∠BPF，然后求出∠APB=∠EPF=90°，再根據(jù)垂直的定義證明；（2）求出AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BF，然后求出OB，再寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PE=PF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；（4）同（3）的思路求解即可．

試題解析：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，作PF⊥y軸于F

∵ P（2，2）

∴ PE=PF=2，∠EPF=90°

在Rt△APE和Rt△BPF中

∴ Rt△APE≌Rt△BPF（HL）

∴ ∠APE=∠BPF

∴ ∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=90°

∴ PA⊥PB

（2）∵P（2，2）

∴ OE=OF=2

∵ A（8，0）

∴ OA=8

∴ AE=OA-OE=8-2=6

又由⑴得Rt△APE≌Rt△BPF

∴ BF=AE=6

∴ OB=BF-OF=6-2=4

∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-4）

（3）∵ Rt△APE≌Rt△BPF

∴ AE=BF

∵ AE=OA-OE=OA-2

BF=OF+OB= 2 +OB

∴ OA-2= 2 +OB

∴ OA -OB= 4

（4）OA +OB=4