Question

如圖1，已知直線：y=

3

3

x+

3

與直角坐標系xOy的x軸交于點A，與y軸交于點B，點M為x軸正半軸上一點，以點M為圓心的⊙M與直線AB相切于B點，交x軸于C、D兩點，與y軸交于另一點E．
（1）求圓心M的坐標；
（2）如圖2，連接BM延長交⊙M于F，點N為

CF

上任一點，連DN交BF于Q，連FN并延長交x軸于點P．則CP與MQ有何數(shù)量關系？證明你的結論；
（3）如圖3，連接BM延長交⊙M于F，點N為

CF

上一動點，NH⊥x軸于H，NG⊥BF于G，連接GH，當N點運動時，下列兩個結論：①NG+NH為定值；②GH的長度不變；其中只有一個是正確的，請你選擇正確的結論加以證明，并求出其值？

Answer 1

分析：（1）根據一次函數(shù)解析式求出A，B兩點的坐標．進而得出AO，BO的長，再利用射影定理求出MO的長即可得出答案；
（2）利用圓周角定理以及等邊三角形的性質得出△BDQ≌△MFP，進而得到PM=BQ，從而得出CP與MQ的數(shù)量關系；
（3）根據垂徑定理以及銳角三角函數(shù)首先得出WQ=2

3

，進而得出GH是△WNQ的中位線，HG=

1

2

WQ=

3

，即可得出答案．

解答：解：（1）連接BM，
∵y=

3

3

x+

3

與直角坐標系xOy的x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A點橫坐標為x：0=

3

3

x+

3

，縱坐標為0，
∴x=-3，A（-3，0），
B點坐標為：（0，

3

），
∴BO=

3

，AO=3，
∵以點M為圓心的⊙M與直線AB相切于B點，
∴AB⊥BM，
∵BO⊥AM．
∴BO²=AO×MO，
3=3MO，
∴MO=1，
∴圓心M的坐標為（1，0）；

（2）MQ=PC．
證明：∵BO=

3

，MO=1，
∴tan∠BMO=

3

，
∴∠BMO=60°，
∵BM=DM，
∴△BDM是等邊三角形，
∴BD=BM=DM，∠DBQ=60°，
∴∠FMP=∠BMD=60°，
∴∠DBQ=∠FMP=60°，
∵∠BDN=∠BFN，
∴△BDQ≌△MFP，
∴PM=BQ，
∵BM=CM，
∴BQ-BM=PM-MC，
即：MQ=PC；

（3）GH的長度不變；
證明：延長NH到⊙一點Q，延長NG到圓上一點W，作MT⊥WQ，連接WQ，MQ，MW，MN，
∵NH⊥x軸于H，NG⊥BF于G，
∴QC=CN，GN=WQ，

QC

=

CN

，

WF

=

FN

，（垂徑定理的推論）
∴∠QMC=∠CMN，∠NMF=∠FMW，
∵由（2）得出∠DMB=∠FMC=60°，
∴∠WMQ=120°，WM=MQ，
∴QT=WT，∠TMQ=60°，
∵DM=MQ=2，
∴sin60°=

QT

2

，
∴QT=

3

，
∴WQ=2

3

，
∴點N為

CF

上一動點，到什么位置△WMQ形狀不變，
∴QW=2

3

長度不變，
∵H為QN的中點，G為WN的中點，
∴GH是△WNQ的中位線，
∴HG=

1

2

WQ=

3

，
∴GH的長度不變．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及全等三角形的判定和銳角三角函數(shù)等知識，所以同學們學習時一定要會把所學的知識靈活的運用起來，延長NC到⊙一點Q，延長NG到圓上一點W，得出這兩條輔助線是解決問題的關鍵．