Question

【題目】如圖1,在矩形的邊上存在點,使得,我們稱點為矩形的“和諧點

(1)求證: ;

(2)如圖2,矩形的頂點的坐標為為坐標原點,點分別在軸和軸上,在邊上是否存在“和諧點”，如果存在,求出點的坐標;如果不存在,請說明理由

(3)在(2)中,如果點的坐標為,且在上存在“和諧點”求的取值范圍

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)存在.和.(3) 且．

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【解析】

（1）先說明，再結合即可證明；

（2）由題意可知，以為直徑作圓與邊交于點，即為點P “和諧點”．連接，再由（1）得到，則運用相似三角形的性質計算即可；

（3）如圖：當B在第一象限時，以為直徑的圓與邊相切于點時,點的縱坐標最大,則確定m的最大值；同理，當B在第一象限時，確定m的最小值．

解:(1)∵四邊形是矩形,

∴

∴

∴

∴

∵

∴

(2)存在.理由如下:

∵四邊形是矩形,點的坐標為

∴

如圖,以為直徑作圓與邊交于點,連接，則,

∴點為矩形的“和諧點”

由(1)的方法可知,

解得或

∴點的坐標為或

綜上所述,符合條件的點有兩個: 和.

(3)如圖, 當B在第一象限時，以為直徑的圓與邊相切于點時,點的縱坐標最大,此時；

同理：當B在第一象限時，可以得到點的縱坐標的最小值,此時；

當向下移動時(不與軸重合),圓與邊有兩個交點，則.

所以的取值范圍是且．