Question

20．某工廠投入生產(chǎn)一種機器，當(dāng)該機器生產(chǎn)數(shù)量至少10臺，但不超過70臺，每臺成本y與生產(chǎn)數(shù)量x之間是一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：

x（單位：臺）	10	20	30
y（單位：萬元∕臺）	60	55	50

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種機器每月銷售量z（臺）與售價a（萬元∕臺）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，求z與a之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）若該廠第一個月生產(chǎn)這種機器50臺，且第一個月按同一售價共賣出這種機器25臺，請你求出該廠第一個月銷售這種機器的利潤．（注：利潤=售價-成本）

Answer 1

分析 （1）設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y=kx+b，運用待定系數(shù)法就可以求出其關(guān)系式，由該機器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺，但不超過70臺就可以確定自變量的取值范圍；
（2）設(shè)每月銷售量z（臺）與售價a（萬元∕臺）之間的函數(shù)關(guān)系式為z=ma+n，運用待定系數(shù)法求出其解析式，
（3）將z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每臺的利潤，從而求出總利潤．

解答 解：（1）設(shè)y與x之間的關(guān)系式為y=kx+b，由題意，得
$\left\{\begin{array}{l}{60=10k+b}\\{50=30k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=65}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+65．
∵該機器生產(chǎn)數(shù)量至少為10臺，但不超過70臺，
∴10≤x≤70；
（2）設(shè)每月銷售量z（臺）與售價a（萬元∕臺）之間的函數(shù)關(guān)系式為z=ma+n，由函數(shù)圖象，得
$\left\{\begin{array}{l}{35=55m+n}\\{15=75m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=90}\end{array}\right.$，
∴z=-a+90．
（3）當(dāng)z=25時，a=65，
成本y=-$\frac{1}{2}$x+65=-$\frac{1}{2}$×50+65=40（萬元）；
總利潤為：25（65-40）=625（萬元）．
答：該廠第一個月銷售這種機器的利潤為625萬元．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，一元二次方程的運用，銷售問題利潤=售價-進價的運用，解答時求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．