Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和，點(diǎn)為軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)、、作的外接圓，連結(jié)并延長交圓于點(diǎn)，連結(jié)、．

（1）求證：．

（2）當(dāng)時(shí)，求的長度．

（3）如圖2，連結(jié)，求線段的最小值及當(dāng)最小時(shí)的外接圓圓心的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）OD最小值為9，C（，）

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理得出∠ABD=90°，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠ADB=∠AEB，從而證明結(jié)論；

（2）根據(jù)條件算出AB，證明△ABD∽△AOE，得出，解得AE，再根據(jù)勾股定理算出OE的長；

（3）設(shè)直線BD與y軸交于點(diǎn)F，得出當(dāng)OD⊥BD時(shí)，OD最小，通過解直角三角形算出OD，BD，過點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，設(shè)OG=x，利用勾股定理解出OG和DG，從而得到點(diǎn)D坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A坐標(biāo)得出圓心C的坐標(biāo).

解：（1）由題意可得：AD為⊙O的直徑，

∴∠ABD=∠AOE=90°，

∵∠ADB=∠AEB，∠AOE=90°

∴∠OAE=∠BAD；

（2）∵和，

∴OA=6，OB=，

∴AB=，

∵AD=15，

由（1）得：∠OAE=∠BAD，∠ABD=∠AOE，

∴△ABD∽△AOE，

∴，

即，

解得：AE=，

∴OE=；

（3）設(shè)直線BD與y軸交于點(diǎn)F，

∵AB⊥BD，

∴∠OBD=∠OAB=90°-∠ABO，

直線AB位置不變，

∴直線BD位置不變，

∴當(dāng)OD⊥BD時(shí)，OD最小，

此時(shí)，OD=OB×sin∠OBD=OB×sin∠OAB=×=×=9，

BD=，

過點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，設(shè)OG=x，則BG=-x，

在△OBD中，BD2-BG2=OD2-OG2，

即，

解得：x=，即OG=，

DG=，

由題意可得點(diǎn)D在第三象限，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（，），而點(diǎn)A（0，6），

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（，），即（，）.