Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）(m≠0)．將點(diǎn)A繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)M，將點(diǎn)O繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)N，連接MN，稱線段MN為線段AO的伴隨線段．

（1）如圖1，若m=1，則點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為 ， ；

（2）對(duì)于任意的m，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；

（3）已知點(diǎn)B（，t），C（，t），以線段BC為直徑，在直線BC的上方作半圓，若半圓與線段BC圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）至少存在一條線段AO的伴隨線段MN，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(1,2)，(1,1) ．（2）(m,2 m)，(m, m)．（3） ．

【解析】

（1）把m=1分別代入點(diǎn)A，P，Q的坐標(biāo)中，依據(jù)題意進(jìn)行操作即可得到M，N的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)點(diǎn)A，P，Q的坐標(biāo)求出AP，OP，OQ的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出M，N的坐標(biāo)；

（3）分m為正數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況討論求解即可.

（1）∵A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）

∴當(dāng)m=1時(shí)，A（0，3），P（0，2），Q（0，1）

∵點(diǎn)A繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)M，

∴M（1，2）

∵點(diǎn)O繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)N，

∴N(-1,1)，如圖所示：

（2）∵A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）

∴AP=m，OP=2m，OQ=m

∵點(diǎn)A繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)M，

∴M（m，2m）

∵點(diǎn)O繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)N，

∴N(-m，m)；

（3）∵點(diǎn)B（，t），C（，t），

∴BC=2

以線段BC為直徑，在直線BC的上方作半圓，如圖所示，

①當(dāng)m為正數(shù)時(shí)，半圓中線段MN的最大值是N在BC上，M在弧上，

此時(shí)△PQM是等腰直角三角形，

∴，即

解得m=1或m=-1(舍去)，

∴QO=1，

∴t=1;

②當(dāng)m為負(fù)數(shù)時(shí)，半圓中線段MN的最小值是M在BC上，N在弧上，此時(shí)△PQM是等腰直角三角形，如圖，

∴，即

解得m=-1或m=1(舍去)，

∴PO=2，

∴t=-2;

故