Question

如圖所示，某學(xué)校擬建一個(gè)含內(nèi)接矩形的菱形花壇（花壇為軸對(duì)稱(chēng)圖形）．矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在菱形四條邊上，菱形ABCD的邊長(zhǎng)AB=4米，∠ABC=60°．設(shè)AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面積為S米²．

（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）學(xué)校準(zhǔn)備在矩形內(nèi)種植紅色花草，四個(gè)三角形內(nèi)種植黃色花草．已知紅色花草的價(jià)格為20元/米²，黃色花草的價(jià)格為40元/米²．當(dāng)x為何值時(shí)，購(gòu)買(mǎi)花草所需的總費(fèi)用最低，并求出最低總費(fèi)用（結(jié)果保留根號(hào)）？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）連接AC、BD，

∵花壇為軸對(duì)稱(chēng)圖形，

∴EH∥BD，EF∥AC。

∴△BEF∽△BAC。

∵∠ABC=60°，

∴△ABC、△BEF是等邊三角形。

∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x，

在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，

則EM=AEcos∠AEM=x，∴EH=2EM=x.

∴S=（4﹣x）×x=﹣x²+4x。

（2）易求得菱形ABCD的面積為8cm²，

由（1）得，矩形ABCD的面積為x²，則可得四個(gè)三角形的面積為（8+x²﹣4x），

設(shè)總費(fèi)用為W，

則W=20（﹣x²+4x）+40（8+x²﹣4x）=20x²﹣80x+320

=20（x﹣2）²+240。

∵0＜x＜4，∴當(dāng)x=2時(shí)，W取得最小，W_最小=240元。

∴當(dāng)x為2時(shí)，購(gòu)買(mǎi)花草所需的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為240元。

【解析】

試題分析：（1）連接AC、BD，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF為等邊三角形，從而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，繼而得出EH，這樣即可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式。

（2）根據(jù)（1）的答案，可求出四個(gè)三角形的面積，設(shè)費(fèi)用為W，則可得出W關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求最值即可。