Question

飛機測量一島嶼兩端A、B的距離，在距海平面垂直高度為200m的點C處測得A的俯角為53°，然后沿著平行于AB的方向水平飛行了300m，在點D處測得B的俯角為45°，求島嶼兩端A、B的距離．（參考數據：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

Answer 1

解：過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥CD，垂足為F．
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°．
∴四邊形ABFE為矩形．
∴AB=EF，AE=BF．
由題意可知：AE=BF=200 m，CD=300m．
在Rt△AEC中，∠C=53°，AE=200m，
∴CE=AEtan53°≈150（m）．
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=200m，
∴DF=BFtan45°=2001=200（m）．
∴AB=EF=CD+DF-CE≈300+200-150=350（m）．
答：島嶼兩端A、B的距離為350m．
分析：首先過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，易得四邊形ABFE為矩形，根據矩形的性質，可得AB=EF，AE=BF．由題意可知：AE=BF=200米，CD=300米，然后分別在Rt△AEC與Rt△BFD中，利用三角函數即可求得CE與DF的長，繼而求得島嶼兩端A、B的距離．
點評：此題考查了俯角的定義、解直角三角形與矩形的性質．注意能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵，注意數形結合思想的應用．