Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，6），對角線AC，BO交于點(diǎn)D，在邊OC上有一動點(diǎn)P，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，設(shè)OP＝t．

（1）當(dāng)PQ過點(diǎn)D時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（3）過點(diǎn)P作AC的垂線，交△ABC的邊于點(diǎn)R，當(dāng)△PQR為直角三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，6）；（2）；（3）t的值是或 或 ．

【解析】

根據(jù)題目描述，當(dāng)PQ過點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q在AB上可以直接解答第一問;通過過Q作QH⊥x軸于H，交OB于E，設(shè)PQ交OB于F，進(jìn)而證明△OFP∽△OCB可用含t的表達(dá)式來表示點(diǎn)Q坐標(biāo)；根據(jù)第二問表達(dá)式直接分類討論第三問.

解：（1）如圖1，PQ過點(diǎn)D，連接OQ，

∵點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，

∴DQ＝PD，OB⊥PQ，即Q在AB上，

∴OQ＝OP＝t，

∵四邊形OABC是矩形，

∴OD＝BD，

∵PQ⊥OB，

∴OQ＝BQ＝t，

∴AQ＝8﹣t，

在Rt△AOQ中，OQ2＝AQ2+OA2，

∴t2＝62+（8﹣t）2，

t＝，

∴AQ＝8﹣＝，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，6）；

（2）如圖2，過Q作QH⊥x軸于H，交OB于E，設(shè)PQ交OB于F，

∵∠FOP＝∠BOC，∠OFP＝∠OCB＝90°，

∴△OFP∽△OCB，

∴

∴，PF＝，

∴PQ＝2PF＝，

sin∠HQP＝＝sin∠BOC＝，

∴，PH＝，

cos∠HQP＝，QH＝，

∴Q（，）；

（3）分3種情況：

①當(dāng)PR⊥AC于R時(shí)，過Q作QH⊥OC于H，

由（2）知：Q（，），

∴CH＝8﹣，QH＝，

∴tan∠ACO＝，

∴，t＝；

②當(dāng)∠PRQ＝90°時(shí)，R在邊BC上，如圖4，延長CB，過Q作QF⊥CB于F，

∵PR⊥AC，PR⊥QR，

∴AC∥QR，

∴∠QRB＝∠ACB，

∴tan∠QRB＝tan∠ACB＝，

t＝；

③當(dāng)∠PQR＝90°，R在AB上，如圖5，PR⊥AC于F，

∵PQ⊥OB，PQ⊥RQ，

∴EF∥RQ，

∴RF＝PF，

∵BR∥OP，

∴∠RBF＝∠FOP，

∵∠RFB＝∠OFP，

∴△RFB≌△PFO（AAS），

∴OF＝BF，

∵OD＝BD，

∴D與F重合，

Rt△PFC中，PC＝8﹣t，

cos∠ACO＝，

∴，t＝，

綜上，t的值是或或．