【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.該拋物線的頂點(diǎn)為M.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)判斷△BCM的形狀,并說明理由.
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,A,C為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)△BCM是Rt△;(3)O(0,0),P1(0, ),P2(9,0).
【解析】試題分析:(1)已知拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式;
(2)根據(jù)B、C、M的坐標(biāo),可求得△BCM三邊的長,然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可;
(3)假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn);首先連接AC,根據(jù)A、C的坐標(biāo)及(2)題所得△BDC三邊的比例關(guān)系,即可判斷出點(diǎn)O符合P點(diǎn)的要求,因此以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形也必與△COA相似,那么分別過A、C作線段AC的垂線,這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或射影定理)求得OP的長,也就得到了點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),
∴,
解得:,
則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)△BCM為直角三角形,理由為:
對于拋物線解析式y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,即頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,﹣4),
令x=0,得到y=﹣3,即C(0,﹣3),
根據(jù)勾股定理得:BC=3,BM=2,CM=,
∵BM2=BC2+CM2,
∴△BCM為直角三角形;
(3)若∠APC=90°,即P點(diǎn)和O點(diǎn)重合,如圖1,
連接AC,
∵∠AOC=∠MCB=90°,且=,
∴Rt△AOC∽Rt△MCB,
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).
若P點(diǎn)在y軸上,則∠PAC=90°,如圖2,過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1,
∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM,
∴=,
即=,
∴點(diǎn)P1(0,).
若P點(diǎn)在x軸上,則∠PCA=90°,如圖3,過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2,
∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM,
∴=,
即=,AP2=10,
∴點(diǎn)P2(9,0).
∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè):O(0,0),P1(0,),P2(9,0).
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A.周長相等的銳角三角形都全等
B.周長相等的直角三角形都全等
C.周長相等的鈍角三角形都全等
D.周長相等的等腰直角三角形都全等
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【題目】你一定知道烏鴉喝水的故事吧!一個(gè)緊口瓶中盛有一些水,烏鴉想喝,但是嘴夠不著瓶中的水,于是烏鴉銜來一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度隨石子的增多而上升,烏鴉喝到了水.但是還沒解渴,瓶中水面就下降到烏鴉夠不著的高度,烏鴉只好再去銜些石子放入瓶中,水面又上升,烏鴉終于喝足了水,哇哇地飛走了.如果設(shè)銜入瓶中石子的體積為x,瓶中水面的高度為Y,下面能大致表示上面故事情節(jié)的圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知:△ABC內(nèi)接于⊙0,連接AO并延長交BC于點(diǎn)D.
(l)如圖l,求證:∠ABC+∠CAD=90°;
(2)如圖2,過點(diǎn)D作DE⊥AB于E,若∠ADC=2∠ACB.求證:AC=2DE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BO交DE于點(diǎn)F,延長ED交⊙0于點(diǎn)G,連接AG,若AC= ,BF=OD,求線段AG的長.
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