Question

【題目】如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A、C、E在同一直線上．

（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大樓AB的高度（結果保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，

∴DE= DC=2米；

（2）

解： 過D作DF⊥AB，交AB于點F，

∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，

∴∠BFD=45°，即△BFD為等腰直角三角形，

設BF=DF=x米，

∵四邊形DEAF為矩形，

∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴BC= = 米，

BD= BF= x米，DC=4米，

∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，

∴∠DCB=90°，

在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得：2x2= +16，

解得：x=4+ 或x=4﹣ ，

則AB=（6+ ）米或（6﹣ ）米．

【解析】（1）在直角三角形DCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長即可；（2）過D作DF垂直于AB，交AB于點F，可得出三角形BDF為等腰直角三角形，設BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由題意得到三角形BCD為直角三角形，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出AB的長．此題考查了解直角三角形﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．