Question

【題目】已知拋物線y＝2x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1) ．

（1）若拋物線的對稱軸為x＝1，求b，c的值；

（2）求證：拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)；

（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P，若O、A、P三點(diǎn)共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求b的值．

Answer 1

【答案】（1）b＝－4 ,c＝－1；（2）證明見解析;（3）b＝－8或b＝－9．

【解析】分析：（1）根據(jù)對稱軸為x＝1，可得 ，可求出b的值，再把A(2，－1)代入到y＝2x2＋bx＋c求出c的值；

（2）求出b2－4ac的值，然后可判斷出二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個數(shù)；

（3）先求出直線OA的解析式，把把A(2，－1)代入到y＝2x2＋bx＋c求出b，c之間的關(guān)系，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入直線OA的解析式，求出b的值.

詳解：（1）∵拋物線的對稱軸為x＝1，

∴－＝－＝1，∴b＝－4

將點(diǎn)A(2，－1)代入y＝2x2－4x＋c中，解得c＝－1；

（2）∵b2－4ac＝b2－8c，將(2，－1)代入y＝2x2＋bx＋c，得c＝－2b－9，

即b2－4ac＝b2－8(－2b－9)＝(b＋8)2＋8＞0，

∴方程2x2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

∴拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)

（3）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)，

直線OA關(guān)系式為y＝－x，將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線OA，

得方程b2＋17b＋72＝0

求得b＝－8或b＝－9．