Question

如圖1，直線y=-x+4與x軸交于點B，與y軸交于點C，交雙曲線y=

k

x

(x＜0)于點N，連ON，且S_△OBN=10．

（1）求雙曲線的解析式；
（2）如圖2，平移直線BC交雙曲線于點P，交直線y=-2于點Q，∠FCB=∠QBC，PC=QB求平移后的直線PQ的解析式；
（3）如圖3，已知A（2，0）點M為雙曲線上一點，CE⊥OM于M，AF⊥OM于F，設(shè)梯形CEFA的面積為S，且AF•EF=

2

3

S，求點M的坐標．

Answer 1

（1）∵當y=0時，即-x+4=0，
解得：x=4，
當x=0時，y=4，
∴點B的坐標為：（4，0），點C的坐標為（0，4），
∴OB=OC=4，
∵S_△OBN=10，
∴S_△OBN=S_△OCN+S_△OBC=10，
設(shè)點N的坐標為（x，y），
∴

1

2

×4×|x|+

1

2

×4×4=10，
∴x=-1，
∴y=-x+4=1+4=5，
∴點N的坐標為：（-1，5），
∴k=xy=-5，
∴雙曲線的解析式為：y=-

5

x

；

（2）作PE⊥y軸于E，作QF⊥x軸于F，
則∠PEC=∠QFB=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠PCB=∠QBC，
∴∠PCE=∠QBF，
在△PCE和△QBC中，

∠PEC=∠QFB ∠PCE=∠QBF PC=QB

，
∴△PCE≌△QBF（AAS），
∴PE=QF=2，
令x=-2，則y=-

5

-2

=

5

2

，
∴P點的坐標為：（-2，

5

2

），
∵PQ∥BC，
∴設(shè)直線PQ的解析式為：y=-x+b，
將P（-2，

5

2

）代入得：

5

2

=2+b，
解得：b=

1

2

，
∴平移后的直線PQ的解析式為：y=-x+

1

2

；

（3）作AG⊥EC于G，交OC于H，作FI⊥OA于I，連接EH，
∵CE⊥EF，F(xiàn)A⊥EF，
∴四邊形AFEG是矩形，
∴∠GAF=90°，EG=FA，
∵S=

1

2

（AF+EC）•EF，AF•EF=

2

3

S，
∴AF•EF=

1

3

（AF•EF+EC•EF），
∴EC=2AF，
∴EG=

1

2

EC，
即EG=GC，
∵GH⊥EC，
∴CH=EH，
∴∠CEH=∠ECH，
∵∠HEO+∠CEH=∠EOH+∠ECH=90°，
∴∠HEO=∠EOH，
∴EH=OH=

1

2

OC=2，
∵OA=2，
∴OH=OA，
∴∠HAO=45°，
∴∠OAF=45°，
∴OI=OF=1，
∴點F的坐標為（1，-1），
設(shè)直線EF的解析式為：y=kx，
∴k=-1，
∴直線EF的解析式為：y=-x，
聯(lián)立：

y=- 5 x y=-x

，
解得：

x= 5 y=- 5

（舍去），

x=- 5 y= 5

．
∴點M的坐標為：（-

5

，

5

）．