Question

5．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$，M為BC的中點(diǎn)，以MC為邊在正方形ABCD內(nèi)部作正方形CMNE（如圖1），將正方形CMNE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤360°），連接BM、DE．

（1）如圖2，試判斷BM、DE的關(guān)系，并證明；
（2）連接BE，在正方形CMNE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若M點(diǎn)在直線BE上時(shí)，求BM的長(zhǎng)．
（3）如圖3，設(shè)直線BM與直線DE的交點(diǎn)為P，當(dāng)正方形CMNE從圖1的位置開(kāi)始，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后，直接寫(xiě)出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為$\frac{8}{3}π$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判定△BCM≌△DCE（SAS），得出∴BM=DE，再延長(zhǎng)BM交DE于F，交DC于G，根據(jù)三角形內(nèi)角和的定理以及對(duì)頂角相等，得出BM⊥DE即可；
（2）在正方形CMNE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若M點(diǎn)在直線BE上時(shí)，需要分兩種情況進(jìn)行討論，運(yùn)用勾股定理求得NE和BH的長(zhǎng)，進(jìn)而得到BM的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)正方形CMNE旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B、M、N在一條直線上時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)最高點(diǎn)，連結(jié)CN，NN'，CN'，根據(jù)△CN'N是等邊三角形，求得弧CP的長(zhǎng)；再根據(jù)當(dāng)正方形CMNE從圖4所示的位置，繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后，直線BM與直線DE的交點(diǎn)P從圖4所示的位置回到點(diǎn)C與點(diǎn)C重合，據(jù)此得出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

解答 解：（1）BM=DE，BM⊥DE．
理由：∵正方形CMNE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，
∴∠MCB=∠ECD=α，CM=CE．
∵ABCD是正方形，
∴BC=CD．
在△BCM和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠BCM=∠DCE}\\{CM=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△DCE（SAS），
∴BM=DE，
如圖，延長(zhǎng)BM交DE于F，交DC于G，

∵△BCM≌△DCE，
∴∠CBM=∠CDE，
又∵∠BGC=∠DGF，
∴∠BCG=∠DFG，
∵BC⊥CD，
∴BM⊥DE；

（2）情況①，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)H．

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$，
∴CM=CE=2$\sqrt{2}$．
∴在Rt△MCE中，由勾股定理，得ME=$\sqrt{M{C}^{2}+E{C}^{2}}$=4，
∴MH=EH=2，
∴CH=2．
在Rt△BHC中，BH=$\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴BM=2$\sqrt{7}$-2；

情況②，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE'于點(diǎn)H．

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$，
∴CM=CE=2$\sqrt{2}$．
∴在Rt△MCE中，由勾股定理得ME=4，
∴MH=EH=2，
∴CH=2．
在Rt△BHC中，BH=$\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴BM=2$\sqrt{7}$+2；

（3）如圖，當(dāng)正方形CMNE旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B、M、N在一條直線上時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)最高點(diǎn)，連結(jié)CN，NN'，CN'．

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$，M為BC的中點(diǎn)，
∴CM'=CM=2$\sqrt{2}$．
∴∠M'BC=30°，
∴∠BCM'=60°，
由旋轉(zhuǎn)得∠NCN'=60°，NC=N'C，
∴△CN'N是等邊三角形，
∴∠CNN'=60°，
∴弧CP的長(zhǎng)為$\frac{60×π×4}{180}$=$\frac{4}{3}π$，
如圖，當(dāng)正方形CMNE從圖4所示的位置，繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后，直線BM與直線DE的交點(diǎn)P從圖4所示的位置回到點(diǎn)C的位置，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為$\frac{4}{3}π$×2=$\frac{8}{3}π$．
故答案為$\frac{8}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，作輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解．解題時(shí)注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．