Question

（2012•江西模擬）如圖1，在△ABC中，AD是BC上的高，EF是中位線，AD與EF相交于點O，若將△AEO與△AFO分別繞E、F兩點旋轉180°，可與梯形EBCF構成矩形PBCQ，我們把這樣形成的矩形稱為△ABC的一個等積矩形．

（1）若△ABC的邊BC=5，高AD=6，則等積矩形PBCQ的長為

5

，寬為

3

；
（2）在圖2中，∠C=90°，BC=2，AC=4，試求△ABC的所有等積矩形的長和寬；
（3）如圖3中矩形的長為3，寬為2，則能形成這樣的等積矩形的三角形有多少個？試探究其中周長最小的三角形的三邊長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形性質得出即可；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)矩形性質即可得出答案；
（3）畫出圖形，根據(jù)矩形性質求出即可．

解答：解：（1）故答案為：5，3；      

（2）在圖②中，可形成如下三個等積矩形：
在圖（1）中的矩形長為2，寬為2，
在圖（2）中的矩形長為4，寬為1，
在圖（3）中的矩形長為

42+22

=2

5

，寬為

4×2

2×2 5

=

2 5

5

；    

（3）能形成這樣的等積矩形的三角形有無數(shù)個．
其中，當以BC為底時，構成已知等積矩形的三角形的高是4，
則這樣的三角形的另一頂點P在如下圖（1）所示的四個矩形拼成的圖形中的EF上，當P為EF的中點時，△PBC的周長最小，
PB+PC+BC=3+

32+82

=3+

73

；     
當以AB為底時，構成已知等積矩形的三角形的高是6，
這樣的三角形的另一頂點P在如圖（2）中的EF上，
同理當P為EF的中點時，△PAB的周長最小，
PB+PA+AB=2+

22+122

=2+2

37

； 
∵3+

73

＜12，2+2

37

＞1
∴可形成此等積矩形的三角形的周長最小值為3+

73

．
此時，三角形的三邊長分別為3，

73

2

，

73

2

．

點評：本題考查了矩形性質和旋轉性質的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力．